(UERJ 2024) A sequência (an) = (0, 0, 5, 5, 0, ...), em que n ∈ IN, é definida por:

{
    a1 = a2 = 0
    a3 = 5
    an = x, sendo x o algarismo da unidade simples da soma an-1 + an-2 + an-3

A soma dos 100 primeiros elementos da sequência (an) é igual a: 

(A) 125 (B) 175 (C) 200 (D) 250

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2024 (1º Exame de Qualificação), prova aplicada no dia 04/06/2023.

De acordo com a definição, os 3 primeiros elementos da sequência são respectivamente:  0,0,5.

A partir daí, os termos subsequentes são obtidos por meio da seguinte operação:  somamos os 3 termos anteriores e do resultado dessa soma, ficamos apenas com o último dígito do número encontrado, que é o das unidades simples. Vamos fazer isso passo a passo:

a1 | a2 | a3 
0   |  0   |  5 
 
Para obter o a4, somamos a3+a2+a1 = 5 + 0 + 0 = 5 e deste resultado ficamos com o último dígito que é o 5.  Logo, encontramos a4 = 5

a1 | a2 | a3 | a4
0   |  0   |  5  |  5

Para obter o a5, somamos a4+a3+a2 = 5 + 5 + 0 = 10 e deste resultado ficamos com o último dígito que é o 0.  Logo, encontramos a5 = 0

a1 | a2 | a3 | a4 | a5
0   |  0   |  5  |  5   |  0 

Observe que até aqui, encontramos os mesmos valores do enunciado que já nos deu os 5 primeiros elementos da sequência, são eles (0, 0, 5, 5, 0).  

Agora, para obter a6, novamente somamos a5 + a4 + a3 =  0 + 5 + 5 = 10 ← pegamos só o último dígito.  Logo, encontramos a6 = 0

a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6
0   |  0  |   5  |  5   |  0   | 0

A partir deste momento, já é possível perceber um fato curioso na sequência.  Ela é formada por uma repetição de duplas de 0 e depois duplas de 5.  Se você continuar, vai encontrar a7 = 5 e logo depois a8=5.  Deste modo, podemos visualizar que os 100 primeiros números dessa sequência são 

25 duplas de 0
25 duplas de 5

Ou seja, temos um total de

50 vezes o número 0
50 vezes o número 5

A soma desses 100 elementos é igual a

50 x 0 + 50 x 5 = 250

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.