(UNICAMP 2023) Q52 Considere a sequência x1, x2, ..., definida por x1 = 6, e para cada n ≥ 1, temos xn+1 = f(xn), ou seja,

(UNICAMP 2023) Leia o texto a seguir para responder às questões 51 e 52. 

Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”. 

Considere a função 

y = f(x) = x + 1
                     x - 1

definida para x ∈ ℝ , x ≠ 1, que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.

Questão 52)  Considere a sequência x₁, x₂, ..., definida por x₁ = 6, e para cada n ≥ 1, temos x_n+1 = f(x_n), ou seja, 

• x₁ = 6,
• x₂ = f(x₁) = 7/5,
• x₃ = f(x₂),

e assim sucessivamente. Então, a soma dos 100 primeiros termos desta sequência vale

a) 140. b) 370. c) 600. d) 740.

---

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022.

O enunciado informou que x1 = 6 e calculou x2 = 7/5, vamos agora encontrar x3:

x3 = f(x2) = f(7/5) = [(7/5) + 1] / [(7/5) - 1] = [12/5] / [2/5] = [12/5] x [5/2]  = 12/2 =  6 

Note que x3 é igual a x1, e já podemos perceber que o x4 também valerá o mesmo que x2 = 7/5.

Vejamos: x4 = f(x3) = f(6) = (6+1)/(6-1) = 7/5

Ou seja, os 100 primeiros termos dessa sequência são:

{x1, x2, x3, x4, .... x99, x100} = {6 , 7/5 , 6 , 7/5, ...., 6, 7/5} 

Desses 100 elementos, temos 50 vezes o número 6 e também 50 vezes o número 7/5.  Então a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência vale:

50 x 6 + 50 x (7/5)

300 + 70

370

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.