(UECE 2024.1) Considere as matrizes
(UECE 2024.1) Considere as matrizes
Se dn é o determinante da matriz An , então, a soma d1 + d2 + d3 + ........ + dn +........ é igual a
a) 1/3.
b) 1/2.
c) 2/3.
d) 3/4.
d) 3/4.
Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023.
Uma questão muito interessante que envolve matrizes e progressão geométrica (PG).
A matriz A é uma matriz diagonal, e para calcular A2, A3, A4, ..., An basta elevar os elementos da diagonal principal a 2, 3, 4, ..., n, respectivamente.
Além disso, o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
O determinante de A é igual a (1/2) x (1/2) = 1/4
A matriz A2 é a matriz a seguir
(1/2)² 0
0 (1/2)²
0 (1/2)²
Resultando em
1/4 0
0 1/4
0 1/4
O determinante de A2 é igual a (1/4) x (1/4) = 1/16
A matriz A3 é a matriz a seguir
(1/2)3 0
0 (1/2)3
0 (1/2)3
Resultando em
1/8 0
0 1/8
0 1/8
O determinante de A3 é igual a (1/8) x (1/8) = 1/64
Neste ponto, já podemos perceber que os determinantes estão formando uma PG infinita onde o primeiro termo a1 = 1/4 e a razão q = 1/4. Podemos calcular a soma dos termos dessa PG por meio da fórmula:
S = a1 / (1 - q)
S = (1/4) / (1 - 1/4)
S = (1/4) / (3/4)
S = (1/4) x (4/3)
S = 1/3
Alternativa correta é a letra a).
Essa questão também pode ser resolvida sem utilizar as propriedades da matriz diagonal. Calcular os determinantes das matrizes dessa questão é bem tranquilo. Caso necessário, você pode fazer uma revisão por aqui sobre como calcular o determinante de uma matriz 2x2 e sobre como multiplicar duas matrizes.
Já os produtos entre as matrizes A x A, depois A² x A, poderiam tomar um pouco mais de tempo. Da mesma forma como no método anterior, ao final do cálculo do terceiro determinante, já seria possível perceber a progressão geométrica.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.
Um forte abraço e bons estudos.