(UECE 2024.1) Considere as matrizes


Se dn é o determinante da matriz An , então, a soma d1 + d2 + d3 + ........ + dn +........ é igual a

a) 1/3.
b) 1/2.
c) 2/3.
d) 3/4.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023.

Uma questão muito interessante que envolve matrizes e progressão geométrica (PG).  

A matriz A é uma matriz diagonal, e para calcular A2, A3, A4, ..., An  basta elevar os elementos da diagonal principal a 2, 3, 4, ..., n, respectivamente. 

Além disso, o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

O determinante de A é igual a (1/2) x (1/2) 1/4 

A matriz A2 é a matriz a seguir

 (1/2)²       0
    0        (1/2)²

Resultando em 

 1/4      0
  0       1/4

O determinante de A2 é igual a (1/4) x (1/4) = 1/16

A matriz A3 é a matriz a seguir

 (1/2)3       0
    0        (1/2)3

Resultando em 

 1/8      0
  0       1/8

O determinante de A3 é igual a (1/8) x (1/8) = 1/64

Neste ponto, já podemos perceber que os determinantes estão formando uma PG infinita onde o primeiro termo a1 = 1/4 e a razão q = 1/4.  Podemos calcular a soma dos termos dessa PG por meio da fórmula:

S = a1 / (1 - q)
S = (1/4) / (1 - 1/4)
S = (1/4) / (3/4)
S = (1/4) x (4/3)
S = 1/3

Alternativa correta é a letra a).

Essa questão também pode ser resolvida sem utilizar as propriedades da matriz diagonal.  Calcular os determinantes das matrizes dessa questão é bem tranquilo.  Caso necessário, você pode fazer uma revisão por aqui sobre como calcular o determinante de uma matriz 2x2 e sobre como multiplicar duas matrizes.

Já os produtos entre as matrizes A x A, depois A² x A, poderiam tomar um pouco mais de tempo.  Da mesma forma como no método anterior, ao final do cálculo do terceiro determinante, já seria possível perceber a progressão geométrica.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.