(FUVEST 2025) Seja (an) uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a1 e a razão 𝑟, ambos números reais. É possível construir uma outra sequência (bn), em que o primeiro termo é um número real b1 e com a seguinte lei de formação

(FUVEST 2025) Seja (a_n) uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a₁ e a razão 𝑟, ambos números reais. É possível construir uma outra sequência (b_n), em que o primeiro termo é um número real b₁ e com a seguinte lei de formação 

b_n+1 = b_n + a_n ,

sendo 𝑛 > 0 um número natural. 

Por exemplo, se  b₁ = 0 e

(a_n) = (1,3,5,7,9,11, ...),

tem-se

(b_n) = (0,1,4,9,16,25, ...).

Com base em tais informações, os valores de a₁ e 𝑟 foram escolhidos de forma que (b_n) também seja uma progressão aritmética de razão 𝑟′. Nessas condições, é correto afirmar:

(A) r' = a₁
(B) r' = 2a₁
(C) r' = r
(D) r' = 2r
(E) r' = b₁ – a₁

---

Solução: questão da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2025, aplicada em 17/11/2024.

Uma questão interessante sobre sequências, vamos analisar a lei de formação da sequência (b_n).

b_n+1 = b_n + a_{n  ,}  sendo 𝑛 > 0 um número natural. 

Conforme exemplo do enunciado, inicia-se atribuindo um valor para b1, e a partir dele calculamos os seguintes:

b2 = b1 + a1 ,

b3 = b2 + a2 ,

b4 = b3 + a3 , e assim sucessivamente.

O objetivo é que (b_n) seja uma PA de razão 𝑟′, sabemos que em uma progressão aritmética (PA), a partir do segundo termo, podemos obter cada termo somando ao termo anterior a razão, que é um valor sempre constante.

Neste caso, precisamos que a1, a2, a3, a4, ... , tenham sempre o mesmo valor, ou seja, precisamos que a progressão aritmética (a_n) seja constante.  Logo,

𝑟′ = a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = a₅ = ... 

Portanto, a alternativa correta é a letra (A).

Vamos ver isso passo a passo a seguir escrevendo os primeiros termos da sequência (b_n).   O valor de b₁ é definido inicialmente, e a partir de b₂, os valores seguintes são calculados.

→ n = 1;  

b₁₊₁ = b₁ + a₁ 

b₂ = b₁ + a₁ 

→ n = 2;  

b₂₊₁ = b₂ + a₂ 

b₃ = b₂ + a₂ 

→ n = 3;  

b₃₊₁ = b₃ + a₃ 

b₄ = b₃ + a₃ 

Assim, tem-se

(b_n) = (b₁, b₁ + a₁, b₂ + a₂, b₃ + a₃, ...).

Podemos notar que a partir do segundo termo, cada termo é igual ao termo anterior mais um valor (a1, depois a2, depois a3, ....).  O objetivo é que (b_n) seja uma progressão aritmética de razão 𝑟′ , então 

𝑟′ = a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = a₅ = ... 

Com essa construção, percebemos que a₁, a₂, a₃, ... , precisam ter sempre o mesmo valor r' para a sequência (b_n) ser PA:   (b_n) = (b₁, b₁ + r', b₂ + r', b₃ + r', ...).  

A seguir, vamos verificar isso com um exemplo bem simples, considerando que a₁ = 1 e que r = 0.   É importante escolher r = 0, pois assim a PA (a_n) será constante, ou seja, terá todos os seus termos iguais, vamos ver:

(a_n) = (a₁, a₁ + r, a₂ + r, a₃ + r, a₄ + r, ...),

Atribuindo os valores.

(a_n) = (1,1,1,1,1, ...),

Agora, vamos escrever a sequência (b_n), considerando que b₁ = 10.

(b_n) = (10,11,12,13,14, ...).

Assim, podemos notar que (b_n) é uma PA de razão r' = 1, que é o mesmo valor de a1, a2, a3, a4, ...

Por último, vamos ver um outro exemplo, quando a1 = 1 e  r = 1.  Perceba que neste caso r é diferente de 0, portanto a PA (a_n) não será constante, logo, a sequência (b_n) não será PA.

(a_n) = (1,2,3,4,5, ...),

E com ela vamos escrever a sequência (b_n), considerando que b₁ = 10.

(b_n) = (10,11,13,16,20, ...).

Assim, podemos notar que (b_n) não é uma PA, conforme já era esperado.

Um breve resumo da resolução: para que a sequência (b_n) seja uma PA de razão r', então  (a_n)  precisa ser uma PA constante, para isso, sua razão r precisa ser igual a 0.  Assim, os termos a₁, a₂, a₃, a₄, ... serão todos iguais, e também serão iguais a razão r' da (b_n).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.