(FUVEST 2024) Números figurados são números que expressam o total de pontos em certas configurações geométricas. Um exemplo de números figurados são os triangulares, os quais são números naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um triângulo. Os quatro primeiros números triangulares estão ilustrados na figura I. Apesar de o número 1 não representar um triângulo, ele é considerado um número triangular.

Outro exemplo de número figurado é o número oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o número de colunas é uma unidade a mais do que o número de linhas. Os quatro primeiros números oblongos estão ilustrados na figura II. Apesar de o número 2 não representar um quadro retangular, ele é considerado um número oblongo.


A respeito de números triangulares e números oblongos, assinale a alternativa correta. 

(A) 162 é o 15º número triangular.
(B) O 13º número triangular é primo e o 30º número oblongo é ímpar.
(C) 156 não é um número oblongo, nem triangular.
(D) 210 é um número triangular e oblongo.
(E) A diferença entre dois números triangulares consecutivos são termos de uma progressão geométrica.

Solução: questão de matemática da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2024, prova aplicada no dia 19/11/2023.

Vamos resolver essa questão por dois métodos diferentes, no primeiro, vamos trabalhar com a fórmula do n-ésimo número triangular.

Tn = (n)(n+1)
                 2
No segundo método, vamos resolver a questão sem utilizar essa fórmula.

Inicialmente, podemos notar que os números triangulares são obtidos da seguinte forma:

Primeiro é 1
Segundo é o anterior + 2
Terceiro é o anterior + 3
Quarto é o anterior + 4
E assim sucessivamente.

A diferença entre dois números triangulares consecutivos são termos de uma progressão aritmética: 2,3,4,5,6,7, ...

Com essa percepção, já podemos eliminar a letra (e).

Podemos notar que os números oblongos possuem uma estrutura de formação parecida com a dos números triangulares. O primeiro número oblongo é o 2 e os seguintes são obtidos por meio da soma com os termos da PA: 4, 6, 8, 10, ....

Outro detalhe importante é o seguinte: o n-ésimo número oblongo é sempre o dobro do n-ésimo número triangular.  Por exemplo, 

1º n° triangular é o 1 e o 1º n° oblongo é o 2x1 = 2;
2º n° triangular é o 3 e o 2º n° oblongo é o 2x3 = 6;
3º n° triangular é o 6 e o 3º n° oblongo é o 2x6 = 12;
E assim sucessivamente.

Essa percepção vai nos ajudar, por exemplo, no seguinte: sabendo que o número 105 é um número triangular, então o 2 x 105 = 210 é um número oblongo.  Além disso, como os números oblongos são sempre o dobro dos triangulares, então os números oblongos são sempre pares, não existem números oblongos ímpares.  Com isso, podemos eliminar também a letra (b).

A fórmula do n-ésimo número oblongo, pode ser obtida multiplicando a fórmula do n-ésimo número triangular por 2.

Tn = (n)(n+1)

A fórmula do n-ésimo número oblongo nos mostra que ele pode ser obtido por meio do produto entre (n) e (n+1).  Por exemplo, o número 56 é oblongo, isto porque 56 = 7 x 8.  Logo, 56 é o 7° número oblongo.

Vamos usar as fórmulas para analisar as alternativas de resposta:

(A) 162 é o 15º número triangular. 

Vamos aplicar n = 15 na fórmula do n-ésimo número triangular.

Tn = (n)(n+1)
                  2
T15 = (15)(16)
                       2
T15 = 15 . 8
T15 = 120

Alternativa (a) é falsa.

(C) 156 não é um número oblongo, nem triangular. 

Vamos decompor o 156 em fatores primos, para verificar se ele é um número oblongo.

156 | 2
78    | 2
39    | 3
13    | 13     
1       

156 = 2² x 3 x 13
156 = 12 x 13  (é um número oblongo)

O número 156 é oblongo, pois é igual a 12 x 13, ou seja, 156 é o 12° número oblongo.

Uma vez que 156 é um número oblongo, então a letra (c) é falsa e a única alternativa correta é a letra (d).

E se não tivéssemos essas fórmulas?  

Mesmo sem elas, seria possível encontrar a letra (d) como opção correta.  Eliminamos as letras (B) e (E), e vão restar as opções:

(A) 162 é o 15º número triangular.
(C) 156 não é um número oblongo, nem triangular.
(D) 210 é um número triangular e oblongo.

Para verificar qual delas é a correta, podemos escrever os números triangulares até o 15°, ou utilizar fórmulas de PA para nos ajudar a encontrá-lo.  Uma vez que são poucos números, vamos listá-los.  Ao final dessa resolução, você pode ver como obter esse número utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos da PA.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120

Com essa lista, vamos analisar as alternativas restantes:

(A) 162 é o 15º número triangular. 

Alternativa falsa, pois o 15° número triangular vale 120.

(C) 156 não é um número oblongo, nem triangular. 

156 é sim um número oblongo, pois 78 é um número triangular, isto quer dizer que 2 x 78 = 156 é um número oblongo, logo, esta alternativa também é falsa.

Com isso, a única alternativa que pode ser a correta é a letra (d)

Obs: sabemos que o número 105 é triangular, logo o 2 x 105 = 210 é oblongo, tudo bem.  Mas e o 210, também é um número triangular?   Como a única alternativa correta tem que ser a letra (d), então é necessário que 210 seja sim um número triangular.  Podemos confirmar isso completando a lista dos números triangulares até 210.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210

Confirmamos, assim, que 210 é um número triangular.


Uma alternativa para obter o n-ésimo número triangular é a utilização da fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

O 15° número triangular é igual a 1 + a soma dos 14 termos da PA {2, 3, 4, ..., 13, 14, 15}. 

1 + [(a1 + an) . (n/2)]
1 + (2 + 15) . (14/2)
1 + 17 . 7
1 + 119
120

O que nos permitiria eliminar a letra (a), pois o 15° número triangular vale 120.

Agora, podemos fazer o caminho inverso:

diminuir 15 unidades de 120, e teremos o 105.
diminuir 14 unidades de 105, e teremos o   91.
diminuir 13 unidades de   91, e teremos o   78.

Sabendo que o 78 é um número triangular, então 2 x 78 = 156 é um número oblongo, o que nos permitiria eliminar a letra (c) e identificar a alternativa (d) como a única correta.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.