Questão de Progressão Aritmética em um jogo entre quatro amigos.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.
Enunciado da Questão
Quatro amigos, cada um com 100 moedas, criaram um jogo, no qual cada um assume uma das quatro posições, 1, 2, 3 ou 4, indicadas na figura, e nela permanece até o final.
O desenvolvimento do jogo se dá em rodadas e, em todas elas, cada jogador transfere e recebe uma quantidade de moedas, da seguinte maneira:
- o jogador na posição 1 transfere 1 moeda para o jogador na posição 2;
- o jogador na posição 2 transfere 2 moedas para o jogador na posição 3;
- o jogador na posição 3 transfere 3 moedas para o jogador na posição 4;
- o jogador na posição 4 transfere 4 moedas para o jogador na posição 1, completando a rodada.
Ao final da rodada n, qual é a expressão algébrica que representa o número de moedas do jogador na posição 1?
(A) 103 + 4n
(B) 103 + 3n
(C) 100 + 4n
(D) 100 + 3n
(E) 99 + 4n
Resolução Comentada
O jogador 1 inicia com 100 moedas. A cada rodada, ele transfere uma moeda ao jogador 2, e recebe quatro do jogador 4. Calculando: (–1 + 4) = + 3 moedas. Assim, ao final de cada rodada, ele passa a ter mais 3 moedas.
É possível visualizar que, ao final de n rodadas, ele terá 100 + 3n moedas. Também podemos verificar isso passo a passo a seguir.
Ao final da rodada 1, ele terá
100 + 3 = 100 + 3 · 1
Ao final da rodada 2, ele terá
100 + 3 + 3 = 100 + 3 · 2
Ao final da rodada 3, ele terá
100 + 3 + 3 + 3 = 100 + 3 · 3
(...)
Ao final da rodada n, ele terá
100 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 3 = 100 + 3 · n
n vezes
Resposta Correta
(D) 100 + 3n
Observando a quantidade de moedas do jogador 1 ao final de cada rodada, podemos notar a formação de uma Progressão Aritmética (P.A.). Para fins de exercício, vamos utilizar a fórmula do n-ésimo termo da P.A.
Resolução por meio de uma P.A.
| a1 | a2 | a3 | ... |
|---|---|---|---|
| 103 | 106 | 109 | ... |
Ao final da rodada 1: a1 = 103. A razão r da P.A. vale 3. Ao final da rodada n, quanto vale o an? Basta utilizarmos a fórmula do n-ésimo termo da P.A.
an = a1 + (n – 1) · r
an = 103 + (n – 1) · 3
an = 103 + 3n – 3
an = 100 + 3n
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Um forte abraço e bons estudos.
