(UNICAMP 2024) Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem 2m de largura e seu ponto mais alto está a 2,5m do chão, conforme figura a seguir.

Para realizar sua pesquisa, ela precisa entrar na caverna com um equipamento guardado em uma caixa de 1m de largura. Qual é a altura máxima, em metros, que a caixa pode ter para passar pela entrada da caverna?

a) 11/8. b) 13/8. c) 15/8. d) 17/8.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023.

Uma questão muito interessante com uma aplicação prática de funções do segundo grau.  Para resolver essa questão, vamos ilustrar a parábola no plano cartesiano, conforme o modelo a seguir:



Da forma como a parábola foi posicionada no plano cartesiano, a altura da caixa ilustrada com valor h é igual a f(1/2).  Ou seja, se encontrarmos a f(x), basta aplicar f(1/2) que encontraremos h.  Note que a caixa tem que ficar posicionada de forma centralizada na entrada da caverna, conforme ilustrado no enunciado, de modo que "sobre" 0,5 m a sua esquerda e 0,5 m a sua direita.

* Detalhe, as coordenadas do vértice da parábola são (1; 5/2), já vamos comentar sobre elas aí na frente.
** Vamos trabalhar com os valores em formato de fração.

O que vamos fazer agora é obter a f(x) utilizando a forma fatorada.

f(x) = a . (x - x1) (x - x2)

Sendo x1 e x2 as raízes de f(x).  Sabemos que as raízes de f(x) são 0 e 2.  

f(x) = a . (x - 0) (x - 2)
f(x) = a . x . (x - 2)
f(x) = a . (x² - 2x)

O que sabemos sobre o coeficiente a é que ele é negativo, isto porque a parábola tem concavidade voltada para baixo.  Como as raízes são 0 e 2, então a média entre elas nos dá a abscissa do vértice da parábola, que também pode ser calculado pela fórmula (Xv = -b/2a).  Sabemos que a altura máxima da parábola está a 2,5 m do chão ( em nossa ilustração, a linha do chão é o eixo x), deste modo, a ordenada do vértice da parábola é de 2,5 m ( vamos trabalhar com 5/2).  Deste modo, podemos concluir que as coordenadas do vértice da parábola (Xv,Yv) são (1,5/2) conforme já foi ilustrado.

Caso necessário, você pode fazer uma revisão das fórmulas das coordenadas do vértice da parábola nesta questão da UFPR.

Agora, nós vamos obter o coeficiente a utilizando essas coordenadas.  Sabemos que Yv = f(Xv), deste modo, temos que

Yv = f(Xv)
5/2 = a . (1² - 2.1)
5/2 = a . (1 - 2)
5/2 = a . (-1)
a = -5/2

Com este valor de a, temos finalmente a f(x).

f(x) = (-5/2) . (x² - 2x)
f(x) = (-5/2) x² + 5x 

Para encontrarmos h, basta calcularmos f(1/2).

f(1/2) = (-5/2) (1/2)² + 5(1/2) 
f(1/2) = (-5/2) (1/4) + 5/2 
f(1/2) = -(5/8) + 5/2 
f(1/2) = -(5/8) + 20/8
f(1/2) = 15/8

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.