Questão sobre equação da parábola no contexto de um movimento de ataque em um jogo de voleibol. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UNICAMP .

(UERJ 2026) Questão sobre gráfico de função quadrática. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de Matemática da UERJ.

(UEG 2024/2)  A parábola representada por y = x² – 4x + 3 e a reta que passa pelos pontos (0,–1) e (2,1) se intersectam em a) (–1,0) e (2,1) b) (1,0) e (4,3) c) (1,0) e (3,0) d) (2,–1) e) (0,3)

( UNICAMP 2024 )  Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem 2m de largura e seu ponto mais alto está a 2,5m do chão, conforme figura a seguir. Para realizar sua pesquisa, ela precisa entrar na caverna com um equipamento guardado em uma caixa de 1m de largura. Qual é a altura máxima, em metros, que a caixa pode ter para passar pela entrada da caverna? a) 11/8. b) 13/8. c) 15/8. d) 17/8. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. Uma questão muito interessante com uma aplicação prática de funções do segundo grau.  Para resolver essa questão, vamos ilustrar a parábola no plano cartesiano, conforme o modelo a seguir: Da forma como a parábola foi posicionada no plano cartesiano, a altura da caixa ilustrada com valor h é igual a f(1/2).  Ou seja, se encontrarmos a f(x), basta aplicar f(1/2) que encontraremos h.  No...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Considere as equações  x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0,  x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0  e   x² - 4x - 4y + 8 = 0 ,  com (x,y) ∈ ℝ².  Analise e assinale a opção que apresenta, respectivamente, as representações geométricas das equações. a) Hipérbole, elipse, parábola. b) Hipérbole, circunferência, reta. c) Hipérbole, circunferência, parábola. d) Elipse, circunferência, parábola. e) Elipse, circunferência, reta. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Analisando cada equação, temos que: 1) x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0 De acordo com as alternativas de resposta, a primeira equação só pode ser hipérbole ou elipse.  Note que os sinais trocados dos coeficientes que multiplicam x² e y² nos indicam que não será elipse, então só pode ser hipérbole.  Vamos obter a equação dessa hipérbole para co...

(ENEM 2022)  Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola y = - x²/6 -7x/3 + 12 ,  em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde. A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:  • ginásio I: 17 m; • ginásio II: 18 m; • ginásio III: 19 m; • ginásio IV: 21 m; • ginásio V: 40 m.  O saque desse atleta foi invalidado  A) apenas no ginásio I. B) apenas n...

( UNICAMP 2023 )  Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola, de uma reta, e o ponto P = (a,b), que é um dos pontos de interseção da reta com a parábola. O valor de a + b é  a) −7,5. b) −7. c) −6,5. d) −6. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022. Para resolver essa questão de geometria analítica, em primeiro lugar, vamos obter a equação da reta: Um detalhe importante: nesta resolução, vamos trabalhar com coeficientes usando as variáveis a,b e c.  Cuidado para não confundir a e b referentes ao ponto P(a,b) com estes coeficientes que vamos utilizar para encontrar a função do 1º grau e a função do 2º grau. Dada a equação da reta :  r(x) = a x + b Podemos observar que b = 2 , pois é a altura na qual a reta toca o eixo y.  Podemos encontrar o coeficiente angular da reta  a por meio dos dois pontos conhecidos: (x1, y1) = (-1,0) e (x2,y2) = (0,2). a = (y2 - y1) / (x2 - x1)...

(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ)  A figura a seguir mostra o gráfico da função real de variável real f(x) = ax² + bx + c . Os sinais dos coeficientes a , b e c são, nessa ordem:  A) +, +, + B) –, –, – C) +, –, – D) –, +, + E) +, –, + Solução:  questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014. O coeficiente a desta parábola é positivo, isto porque a parábola tem a sua concavidade voltada para cima, formato de ( U ). Além disso, podemos visualizar que o coeficiente c desta parábola é negativo, isto porque a parábola corta o eixo y em uma altura negativa.  É o mesmo que cacular f(0) f(0) = a.0² + b.0 + c  f(0) =  c  Note que quando x = 0 o valor de y vale c e este, de acordo com o gráfico, é negativo. Até agora, já reunimos as seguintes informações.  a é positivo. c é negativo. Sabendo isso, já temos elementos suficientes para marcar let...

(EEAR CFS 2/2022) Seja a função f(x) = ax² + bx + c. Se f tem duas raízes reais distintas e se o vértice do gráfico de f é V f (x v , y v ), então o vértice do gráfico da função g(x) = −ax² − bx − c é o ponto  a) (x v  , y v ) b) (x v  , -y v ) c) (-x v  , y v ) d) (-x v  , -y v ) Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2022. Prova aplicada no dia 14/11/2021. Nesta resolução, vamos trabalhar com as fórmulas das coordenadas do vértice de uma parábola. Xv = -b/(2a) Yv = -Δ/(4a)  onde   Δ = b² - 4ac Considerando que Xv e Yv são as coordenadas do vértice do gráfico de f(x) = ax² + bx + c.  Então, temos que  Xv = -b/(2a) Yv = -(b² - 4ac)/(4a) OBS: Idêntica à fórmula, isto porque os coeficientes são a = a , b = b e c = c.   O que precisamos fazer agora é calcular as coordenadas Xv' , Yv' do vértice de  g(x) = −ax² − bx − c.  Agora, nós temos os c...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2021) Determine a área hachurada, no gráfico abaixo, sabendo que V é o vértice da parábola, e marque a opção correta. a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 Solução: questão muito rica sobre função do segundo grau, nela é fornecido um gráfico da parábola com alguns pontos e precisamos calcular a área de um triângulo e de um trapézio.  Primeiramente, vamos analisar o gráfico e obter a f(x).   O gráfico apresenta as raízes da f(x), são elas x₁ = 1 e x₂ = 9. Além disso, informa também o ponto (0,-9). Neste caso, podemos trabalhar com a forma fatorada da função do segundo grau. f(x) = a ( x – 1) ( x – 9 ) Vamos utilizar o ponto (0, –9) para descobrir o coeficiente 'a'. –9 = a (0 – 1) (0 – 9) –9 = 9 a a = –1 Assim, temos f(x) = – ( x – 1) ( x – 9 ) A coordenada x do vértice desta parábola é (x₁ + x₂)/2 = (1 + 9)/2 = 10/2 = 5 A coordenada y do vértice desta parábola vale f (5). f(5)...

(EPCAR 2022) Em um exercício de aperfeiçoamento de Cadetes da Força Aérea Brasileira, três aeronaves estão posicionadas como indicado na figura a seguir. Em certo momento, as aeronaves 1, 2 e 3 são vistas de um determinado ponto, seguindo uma trajetória de voo sobre a curva de uma parábola, sendo dadas suas distâncias de referência como a da figura.  Considere um plano cartesiano em que: as aeronaves 1, 2 e 3 estão sobre a trajetória de uma única parábola; a pista de aterrissagem está no eixo das abscissas; a posição de cada aeronave é um ponto (x,y) desse plano, onde  y = f(x) é a altura atingida pela aeronave, em km, em relação ao chão; e o eixo das ordenadas passa pela aeronave 1 A lei da função f que satisfaz as condições estabelecidas na figura é   Solução: questão muito interessante da EPCAR 2022 sobre função do segundo grau.  Em primeiro lugar, vamos escrever na figura o plano cartesiano, marcando os pontos estratégicos dessa par...

(ENEM 2020 Digital) Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório de gastos públicos realizados pelo município. O documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que modela esses gastos é a parábola y = T(x), com x sendo o número correspondente ao mês e T(x), em milhar de real.  A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é a) T(x) = -x² + 16x +57 b) T(x) = -(11/16)x² + 11x + 72 c) T(x) = (3/5)x² - (24/5)x + 381/5 d) T(x) = - x² - 16x + 87 e) T(x) = (11/16)x² - (11/2)x + 72 Solução: questão interessante do ENEM 2020 (aplicação digital) sobre funções do segundo grau (parábolas).  Temos vários caminhos diferentes para resolver essa questão. Vamos adotar o seguinte, sejam: T(1) = 72 T(8) = abscissa do vértice da parábola. De acordo com o enunciado, é um ponto de máximo. T(12) = 105 Perceba que o g...

(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) A função polinomial do segundo grau f(x) = ax² + bx + c tem como gráfico uma parábola que corta o eixo x nos pontos A(x1,0) e B(x2,0), sendo x1 e x2 números reais positivos e x2 > x1.  Se o vértice V dessa parábola possui ordenada igual a (x2-x1), o valor de (b² - 4ac) é igual a: a) 25  b) 16  c) 9  d) 4  e) 1 Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015.  Nesta questão de funções do segundo grau, precisamos ter em mente as fórmulas das coordenadas do vértice de uma parábola. As coordenadas do vértice da parábola são (Xv,Yv) onde: Xv = -b/2a Yv = -Δ/4a     ;   Δ = b² - 4ac Do enunciado, temos: "Se o vértice V dessa parábola possui ordenada igual a (x2-x1)" Yv = x2-x1 = -Δ/4a ** Atente para o fato de que Yv é um valor positivo na função proposta pelo enunci...

(Colégio Naval 2020) Na figura, a parábola é a representação gráfica no plano cartesiano da função y = -x² + 14x - 33.  Sabe-se, sobre o losango ABCD de diagonais AC e BD, com AC paralelo ao eixo de x e BD paralelo ao eixo de y, que o produto das abscissas dos vértices A e C é igual a 40 e que o vértice B é o ponto de ordenada máxima da função. É correto afirmar  que a área do losango em unidades de área é igual a: a) 72 b) 64 c) 60 d) 54 e) 48 Solução: questão de matemática do Colégio Naval 2020 que envolve geometria analítica, equações do segundo grau, vértice da parábola e cálculo de área de figuras planas.  Primeiramente, vamos encontrar o ponto B (vértice da parábola). As coordenadas do vértice da parábola são (Xv,Yv) onde: Xv = -b/2a Yv = -Δ/4a     ;   Δ = b² - 4ac Xv = -14/2(-1) = -14/-2 Xv = 7 Yv = - (14² -4.(-1).(-33))/4(-1) Yv = - (196 -132)/-4 Yv = 64/4 Yv = 16 Sendo assim, encontramos o ponto B (7,16). Vamos encontrar os pontos A...

(VUNESP 2021) O dono de uma empresa dispunha de recurso para equipá-la com novos maquinários e empregados, de modo a aumentar a produção horária de até 30 itens. Antes de realizar o investimento, optou por contratar uma equipe de consultoria para analisar os efeitos da variação v da produção horária dos itens no custo C do produto. Perante as condições estabelecidas, o estudo realizado por essa equipe obteve a seguinte função:  C(v) = -0,01 v² + 0,3 v + 50, com -10 ≤ v ≤ 30 A equipe de consultoria sugeriu, então, uma redução na produção horária de 10 itens, o que permitiria enxugar o quadro de funcionários, reduzindo o custo, sem a necessidade de investir novos recursos.  O dono da empresa optou por não seguir a decisão e questionou qual seria o aumento necessário na produção horária para que o custo do produto ficasse igual ao obtido com a redução da produção horária proposta pela consultoria, mediante os recursos disponibilizados.  De acordo com a função ob...

(ENEM PPL 2019) No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram a quantidade Q de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática de t. Os dados coletados nas duas primeiras horas foram: Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os pesquisadores querem saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado.  Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a  A 4. B 7. C 8. D 9. E 10. Solução: do enunciado, a função Q(t) é quadrática, sendo assim, ela tem o formato  Q(t) = a.t² + b.t + c.  Como temos 3 pontos do gráfico dessa função,  (0,1), (1,4), (2,6), podemos encontrar os coeficientes a,b e c desta parábola. Ponto (0,1) Q(0) = a.0² + b.0 + c = 1 c=1 Ponto (1,4) Q(1) = a.1² + b.1 +...

(UFPR 2020) Suponha que, num período de 45 dias, o saldo bancário de uma pessoa possa ser descrito pela expressão  𝑺(𝒕) = 𝟏𝟎𝒕² − 𝟐𝟒𝟎𝒕 + 𝟏𝟒𝟎𝟎  sendo 𝑺(𝒕) o saldo, em reais, no dia t, para 𝒕 ∈ [𝟏, 𝟒𝟓]. Considerando os dados apresentados, é correto afirmar que:  a) o saldo aumentou em todos os dias do período. b) o saldo diminuiu em todos os dias do período. c) o menor saldo no período ocorreu em t = 12. d) o menor saldo no período foi R$ 12,00. e) o saldo ficou positivo em todos os dias do período. Solução:  questão muito interessante do Vestibular da UFPR de 2020 sobre função do segundo grau.  Repare que S(t) é uma parábola com concavidade voltada para cima (formato de U), isso porque o coeficiente a = 10, portanto positivo.   Então essa parábola terá em seu vértice um ponto de mínimo, vamos encontrá-lo aplicando a fórmula do X do vértice (Xv). Xv = -b/2a Xv = - (-240) /2.10 Xv = 240 /20  Xv = 12 Isto quer dizer que foi no d...

(UNICAMP 2021) Sejam p(x) e q(x) polinômios de grau 2 tais que p(0)<q(0).  Sabendo que p(1) = q(1) e p(-1) = q(-1), o gráfico de f(x) = p(x) - q(x) pode ser representado por Solução:  questão muito interessante do Vestibular UNICAMP 2021 sobre funções do segundo grau.  Nosso objetivo é identificar nas 4 opções de resposta, qual delas pode representar o gráfico de f(x) = p(x) - q(x).   Como p(x) e q(x) são equações do segundo grau (parábolas) e f(x) é dado pela subtração de duas parábolas, então o gráfico de f(x) só pode ser uma outra parábola ou uma reta.  Veja alguns exemplos: [ 3x² + 2x + 5 ] - [ x² + x  +1  ]     =  2x² + x + 4  [uma outra parábola] [ 3x² + 2x + 5 ] - [ 3x² + x + 2 ]    =   x + 3   [uma equação de reta]  [ 3x² + 2x + 5 ] - [ 3x² + 2x + 4 ]  =  1  [uma equação de reta] [ 3x² + 2x + 5 ] - [ 3x² + 2x + 5 ]  =  0   [ uma...

(ENEM 2016) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto.  A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões.  Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: y = 9 - x², sendo x e y medidos em metros. Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.  Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado? a) 18  b) 20  c) 36  d) 45  e) 54   Solução: para resolver esta questão do ENEM 2016, vamos esboçar o gráfico dessa parábola, que representa a entrada do túnel. O cálculo da área, conforme informado no enunciado, é dado por 2/3 x base x altura. Área...

(UNICAMP 2018) A figura a seguir exibe o gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 3. O gráfico de 𝑦 = [𝑓(𝑥)]² é dado por Solução: questão muito interessante do Vestibular UNICAMP 2018 sobre análise de gráficos de função do primeiro e segundo grau.  Repare que o gráfico dado inicialmente representa duas equações de reta distintas, uma reta crescente no intervalo que vai de 0<x<1 e outra reta decrescente no intervalo que vai de 1<x<3 . Caso tenha dificuldade em como obter essas equações de reta por meio de um gráfico dado, compartilho essa recomendação de exercício:  como obter a equação da reta que passa por dois pontos - um exercício resolvido. Tendo definido a nossa f(x), temos que agora encontrar a 𝑦 = [𝑓(𝑥)]²,  f(x)=x [𝑓(𝑥)]² = [x]²              [𝑓(𝑥)]² = x²           f(x) = -x+2 [𝑓(𝑥)]² = [-x+2]² [𝑓(𝑥)]² = [-x+2][-x+2] [𝑓(𝑥)]² = x² - 4x + 4      Já pod...