(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2021) Determine a área hachurada, no gráfico abaixo, sabendo que V é o vértice da parábola, e marque a opção correta.

a) 40
b) 50
c) 60
d) 70
e) 80

Solução: questão muito rica sobre função do segundo grau (parábolas) onde teremos que realizar também o cálculo da área de um triângulo e da área do trapézio.  Primeiramente, vamos obter os coeficientes a, b e c desta parábola.  

Sabemos que o coeficiente c vale -9, pois é o ponto onde a parábola toca o eixo y.

Como conhecemos as raízes dessa parábola (são elas 1 e 9), então podemos encontrar os outros coeficientes usando a forma fatorada da função do segundo grau( parábola).

y = a ( x - 1) ( x - 9 )

Vamos desenvolvê-la:

y = a ( x² - 9x - x + 9)
y = a ( x² - 10x + 9)
y = ax² - 10ax +9a

Como já sabemos que c = -9 , e que também é igual a 9a, então podemos encontrar a:

c = -9 = 9a
a = -1   

Finalmente, a parábola tem o formato a seguir:

y = -x² + 10x - 9

Seguindo nos cálculos, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola (Xv , Yv), podemos visualizar do gráfico que Xv = 5.  Lembre-se que a fórmula de Xv = -b/2a

Xv = -10 / 2(-1)
Xv = -10 / -2
Xv = 5

Aplicando f(5) encontraremos Yv

f(5) = - 5² + 10 . 5 - 9
f(5) = - 25 + 50 - 9
f(5) = Yv = 16

Então, as coordenadas do vértice dessa parábola são (5 , 16).

Precisaremos também, calcular o valor de f(7) para podermos encontrar as medidas do trapézio.

f(7) = - 7² + 10 . 7 - 9
f(7) = - 49 + 70 - 9
f(7) = 12

Vamos agora, inserir as medidas das figuras geométricas na parábola e finalmente encontrar a área hachurada.



Área do triângulo = (base x altura) / 2

 = (4 x 16 ) / 2 = 32

Área do trapézio = [ (Base Maior + base menor) x altura ] / 2

 = [ ( 16 + 12 ) x 2 ] / 2  =  28

Finalmente, a área hachurada vale 32 + 28 = 60.  Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros.

Um forte abraço e bons estudos.