(UNICAMP 2023) Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola, de uma reta, e o ponto P = (a,b), que é um dos pontos de interseção da reta com a parábola.


O valor de a + b é 

a) −7,5. b) −7. c) −6,5. d) −6.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022.

Para resolver essa questão de geometria analítica, em primeiro lugar, vamos obter a equação da reta:

Um detalhe importante: nesta resolução, vamos trabalhar com coeficientes usando as variáveis a,b e c.  Cuidado para não confundir a e b referentes ao ponto P(a,b) com estes coeficientes que vamos utilizar para encontrar a função do 1º grau e a função do 2º grau.

Dada a equação da reta :  r(x) = a x + b

Podemos observar que b = 2, pois é a altura na qual a reta toca o eixo y.  Podemos encontrar o coeficiente angular da reta a por meio dos dois pontos conhecidos: (x1, y1) = (-1,0) e (x2,y2) = (0,2).

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
a = (2-0) / (0 - (-1))
a = 2 / 1
a = 2

r(x) = 2x + 2 é a equação da reta.

Agora, vamos obter a função do segundo grau por meio de sua forma fatorada.

f(x) = a (x - x1) (x - x2)

Sendo x1 e x2 as raízes de f(x), podemos observar no gráfico que essas raízes são: -2 e 1.

f(x) = a (x - (-2)) (x - 1)
f(x) = a (x +2) (x - 1)
f(x) = a (x² - x + 2x - 2)
f(x) = a (x² +x - 2)
f(x) = ax² +ax - 2a

Agora, vamos adicionar outro detalhe importante, note que a parábola toca o eixo y na altura igual a 2, logo este tem que ser o valor do coeficiente c.  O que temos que fazer agora é igualar 

-2a = c
-2a = 2
a = -1

Sendo assim, temos que 

f(x) = (-1)x² +(-1)x - 2(-1)
f(x) = -x² - x + 2

Finalmente, para encontrarmos os pontos de encontro de f(x) com r(x), por meio da igualdade:

f(x) = r(x)
-x² - x + 2 = 2x + 2
-x² - 3x = 0
x² + 3x = 0
x(x + 3) = 0

x = 0 ou x+3 = 0
                   x = -3

Note que o ponto P que nos interessa é o ponto de abscissa -3.  Vamos obter a ordenada aplicando este valor em r(x).

r(-3) = 2 (-3) + 2
r(-3) = -6 + 2
r(-3) = -4

Logo, temos que P(a,b) = (-3, -4), de modo que a + b = (-3)  + (-4) =  -7 .

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.