(UNICAMP 2023) Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola, de uma reta, e o ponto P = (a,b), que é um dos pontos de interseção da reta com a parábola.
O valor de a + b é
a) −7,5. b) −7. c) −6,5. d) −6.
Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022.
Para resolver essa questão de geometria analítica, em primeiro lugar, vamos obter a equação da reta:
Um detalhe importante: nesta resolução, vamos trabalhar com coeficientes usando as variáveis a,b e c. Cuidado para não confundir a e b referentes ao ponto P(a,b) com estes coeficientes que vamos utilizar para encontrar a função do 1º grau e a função do 2º grau.
Dada a equação da reta : r(x) = a x + b
Podemos observar que b = 2, pois é a altura na qual a reta toca o eixo y. Podemos encontrar o coeficiente angular da reta a por meio dos dois pontos conhecidos: (x1, y1) = (-1,0) e (x2,y2) = (0,2).
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
a = (2-0) / (0 - (-1))
a = 2 / 1
a = 2
r(x) = 2x + 2 é a equação da reta.
Agora, vamos obter a função do segundo grau por meio de sua forma fatorada.
f(x) = a (x - x1) (x - x2)
Sendo x1 e x2 as raízes de f(x), podemos observar no gráfico que essas raízes são: -2 e 1.
f(x) = a (x - (-2)) (x - 1)
f(x) = a (x +2) (x - 1)
A parábola passa pelo ponto (0,2).
2 = a (0 +2) (0 - 1)
2 = a (2) (- 1)
2 = -2a
a = 2/-2
a = -1
f(x) = -1(x + 2)(x - 1)
f(x) = -(x² -x + 2x - 2)
f(x) = -(x² + x - 2)
f(x) = -x² - x + 2
Finalmente, vamos encontrar os pontos de encontro de f(x) com r(x), por meio da igualdade:
f(x) = r(x)
-x² - x + 2 = 2x + 2
-x² - 3x = 0
x² + 3x = 0
x(x + 3) = 0
x = 0 ou x+3 = 0
x = -3
Note que o ponto P que nos interessa é o ponto de abscissa -3. Vamos obter a ordenada aplicando este valor em r(x).
r(-3) = 2 (-3) + 2
r(-3) = -6 + 2
r(-3) = -4
Logo, temos que P(a,b) = (-3, -4), de modo que a + b = (-3) + (-4) = -7 .
Alternativa correta é a letra b).
Pratique com mais uma questão de Geometria Analítica da UNICAMP
No Vestibular UNICAMP 2026, foi cobrada uma questão de geometria analítica que você vai gostar. Na ocasião, foi necessário analisar ângulos em um triângulo retângulo para encontrar os coeficientes a e b de uma equação de reta y = ax + b. É um problema que pode ser resolvido com razões trigonométricas e geometria analítica, aproveite o ritmo para praticar com ele também.
Ou também, continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.
Um forte abraço e bons estudos.
