Questão sobre equação da parábola no contexto de um movimento de ataque em um jogo de voleibol.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UNICAMP.
Enunciado da Questão
O movimento de ataque em um jogo de voleibol é mais eficiente se o atleta atingir a bola no ponto mais alto da trajetória do centro de massa da bola. A Figura 1 mostra a trajetória da bola que foi lançada pela Atleta A em direção à Atleta B.
O centro de massa da bola, ao ser lançada pela Atleta A, está a 2 metros de altura em relação ao solo. Quando a Atleta B ataca, o centro de massa da bola está a 3 metros de altura em relação ao solo.
As jogadoras estão no mesmo plano da trajetória da bola e a distância entre as jogadoras é de 9 metros. Sabe-se que a trajetória do centro de massa da bola é uma parábola e que o ataque aconteceu justamente no ponto de maior altura da parábola, conforme representado na Figura 2.
A equação da parábola que descreve a trajetória do centro de massa da bola é
a) y = (−1 ⁄ 9)x² + (10 ⁄ 9)x + 2.
b) y = (−1 ⁄ 99)x² + (20 ⁄ 99)x + 2.
c) y = (−1 ⁄ 81)x² + (2 ⁄ 9)x + 2.
d) y = (−1 ⁄ 4)x² + (9 / 2)x + 2.
Resolução Comentada
O gráfico apresenta uma parábola com concavidade voltada para baixo, logo o coeficiente 'a' é negativo. Além disso, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,2), portanto, c = 2. Analisando as alternativas, todas possuem coeficiente 'a' negativo e c = 2. Um detalhe importante: em cada uma delas, há um coeficiente 'a' diferente; isto quer dizer que se encontrarmos 'a', já saberemos a resposta correta.
Neste problema, em vez de trabalharmos com a equação y = ax² + bx + c, vamos utilizar a forma canônica da parábola:
y = a (x – Xv)2 + Yv
O gráfico nos dá as coordenadas do vértice da parábola: (Xv, Yv) = (9,3). Vamos substituir esses valores na expressão acima.
y = a (x – 9)2 + 3
Para encontrar o coeficiente 'a', podemos usar o ponto (0,2).
2 = a (0 – 9)2 + 3
2 – 3 = 81 a
a = –1/81
Conhecemos até aqui os coeficientes: a = –1/81 e c = 2. Já é possível marcar a letra (C).
Para confirmar, vamos desenvolver a equação:
y = (–1 / 81) (x – 9)2 + 3
y = (–1 / 9²) (x² – 2 · x · 9 + 9²) + 3
y = (–1 / 81)x² + (2 / 9)x – 1 + 3
y = (–1 / 81)x² + (2 / 9)x + 2
Resposta Correta
A equação da parábola que descreve a trajetória do centro de massa da bola é
(C) y = (−1 ⁄ 81)x² + (2 ⁄ 9)x + 2.
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Um forte abraço e bons estudos.
