(UERJ 2026) Questão sobre gráfico de função quadrática.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de Matemática da UERJ.
Enunciado da Questão
A parábola representada a seguir intersecta os eixos coordenados nos pontos A (1, 0), B (−1, 0) e C (0, −1).
Essa parábola é o gráfico da função quadrática f definida pela seguinte sentença:
(A) f(x) = x2 − 1
(B) f(x) = x2 + 1
(C) f(x) = − x2 − 1
(D) f(x) = − x2 + 1
Resolução Comentada
Analisando a parábola, podemos notar que a sua concavidade está voltada para cima, ela possui um formato de ∪, portanto, sabemos que seu coeficiente a é positivo. Isso nos permite eliminar as alternativas (C) e (D). Assim, só nos restam as alternativas:
(A) f(x) = x2 − 1
(B) f(x) = x2 + 1
Analisando essas duas alternativas, já podemos observar que o coeficiente a = 1, o coeficiente b = 0 e só precisamos descobrir o valor do coeficiente c, ou seja, só precisamos saber se ele vale −1 ou 1. Podemos observar que a parábola intercepta o eixo y na altura -1, portanto, c = −1.
Resposta Correta
Essa parábola é o gráfico da função quadrática f definida pela seguinte sentença:
(A) f(x) = x2 − 1
Praticando mais sobre função quadrática
Na resolução deste problema, a presença das alternativas de resposta nos ajudou a encontrar a f(x) mais rápido, basicamente eliminando as alternativas. Como exercício, vamos encontrar a sentença da f(x) considerando que nós não temos as alternativas de resposta.
Podemos descobrir a função f(x) observando que o gráfico do enunciado é o mesmo da parábola y = x², mas deslocado uma unidade para baixo (translação vertical da parábola). Começando com a função y = x², ao colocarmos um −1 logo depois do x², teremos y = x² − 1. Esse −1 faz a parábola descer uma unidade no plano cartesiano, sem alterar sua forma. Na ilustração a seguir, você pode comparar os gráficos de y = x² e y = x²−1 no mesmo plano cartesiano.
Um bom exercício seria você esboçar, no mesmo plano cartesiano, o gráfico de y = x² , y = x² − 1 e y = x² + 1, e verificar passo a passo esses gráficos.
Uma outra forma de encontrar a f(x) realizando contas seria usar y = ax² + bx + c e os pontos fornecidos A (1, 0), B (−1, 0) e C (0, −1). Isso resultaria em um sistema 3x3 que nos permitiria descobrir os coeficientes da função do segundo grau. Porém, há formas mais práticas para este problema especificamente, isto porque o ponto C(0,−1) é o vértice da parábola. Assim, podemos trabalhar com a forma canônica da parábola y = a(x − Xv)² + Yv , sendo (Xv, Yv) as coordenadas do vértice da parábola.
Também é possível trabalhar com a forma fatorada da função quadrática y = a(x − x1)(x − x2), pois o gráfico nos informa que as raízes da f(x) são −1 ou 1. Assim, há várias maneiras de encontrarmos a f(x). A seguir, vamos resolver essa questão utilizando uma outra possibilidade.
Analisando o gráfico, já podemos obter o coeficiente c = −1, pois a parábola está interceptando o eixo y na altura −1. Além disso, os pontos A e B nos informam as raízes da f(x), a soma delas vale −1 + 1 = 0 e o produto vale −1·(1) = −1. Sabemos que
Soma das raízes = −b/a
0 = −b/a
b = 0
Produto das raízes = c/a
−1 = −1/a
a = 1
Assim, os coeficientes são:
a = 1 ; b = 0 ; c = −1
Portanto, f(x) = x² −1.
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Um forte abraço e bons estudos.
