(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) A função polinomial do segundo grau f(x) = ax² + bx + c tem como gráfico uma parábola que corta o eixo x nos pontos A(x1,0) e B(x2,0), sendo x1 e x2 números reais positivos e x2 > x1.  Se o vértice V dessa parábola possui ordenada igual a (x2-x1), o valor de (b² - 4ac) é igual a:

a) 25  b) 16  c) 9  d) 4  e) 1

Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015.  Nesta questão de funções do segundo grau, precisamos ter em mente as fórmulas das coordenadas do vértice de uma parábola.

As coordenadas do vértice da parábola são (Xv,Yv) onde:

Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a     ;   Δ = b² - 4ac

Do enunciado, temos: "Se o vértice V dessa parábola possui ordenada igual a (x2-x1)"

Yv = x2-x1 = -Δ/4a

** Atente para o fato de que Yv é um valor positivo na função proposta pelo enunciado, pois existem duas raízes reais e positivas, logo Δ>0.  Além disso, o máximo da função ocorre em altura positiva, (x2-x1) é um valor positivo, logo a parábola tem concavidade voltada para baixo e ponto de máximo com altura y>0.  Sendo assim, o coeficiente a < 0.   Com Δ positivo e o coeficiente "a" negativo, o Yv assume um valor positivo.

Outro detalhe importante, sabemos que numa equação do segundo grau as raízes (x1 e x2) podem ser encontradas pelo método de Bhaskara, e valem:
x1 = (-b + √Δ)/2a
x2 = (-b - √Δ)/2a

Ao efetuarmos a subtração x2 -x1, teremos:

x2 - x1 = (-b - √Δ + b - √Δ)/2a = -2√Δ / 2a 
x2 - x1 = -√Δ/a

Agora vamos igualar as duas expressões para x2-x1 que foram encontradas:

-Δ/4a = -√Δ/a
Δ/4 = √Δ
Δ = 4√Δ
Δ² = 16Δ
Δ² - 16Δ = 0
Δ(Δ - 16) = 0
Δ = 0 ou Δ = 16

Descartamos Δ = 0, pois conforme já foi analisado, Δ > 0.  Logo, o valor de (Δ = b² - 4ac) é igual a 16.

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e confira também: 

>> Lista de Exercícios de Funções do Segundo Grau.

Um forte abraço e bons estudos.