(Colégio Naval 2020) Na figura, a parábola é a representação gráfica no plano cartesiano da função y = -x² + 14x - 33.  Sabe-se, sobre o losango ABCD de diagonais AC e BD, com AC paralelo ao eixo de x e BD paralelo ao eixo de y, que o produto das abscissas dos vértices A e C é igual a 40 e que o vértice B é o ponto de ordenada máxima da função. É correto afirmar  que a área do losango em unidades de área é igual a:

a) 72
b) 64
c) 60
d) 54
e) 48

Solução: questão de matemática do Colégio Naval 2020 que envolve geometria analítica, equações do segundo grau, vértice da parábola e cálculo de área de figuras planas.  Primeiramente, vamos encontrar o ponto B (vértice da parábola).

As coordenadas do vértice da parábola são (Xv,Yv) onde:

Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a     ;   Δ = b² - 4ac

Xv = -14/2(-1) = -14/-2
Xv = 7

Yv = - (14² -4.(-1).(-33))/4(-1)
Yv = - (196 -132)/-4
Yv = 64/4
Yv = 16

Sendo assim, encontramos o ponto B (7,16).

Vamos encontrar os pontos A e C.  Sabemos que eles formam o segmento AC, que é paralelo ao eixo x, logo eles estão sobre uma equação de reta do tipo ( y = K) sendo K uma constante real.  Vamos igualar (y = K ) e (y = -x² + 14x - 33) para encontrarmos as abscissas de A e C.

K = -x² + 14x - 33
-x² + 14x - 33 - K = 0
Uma informação importante do enunciado: " o produto das abscissas dos vértices A e C é igual a 40".
O produto é dado por: 
(c/a) = (-33-k)/-1 = 40
33+k = 40  
k = 7

Logo, A e C estão na altura (y=7). Vamos obter suas abscissas.
-x² + 14x - 33 - 7 = 0
-x² + 14x - 40 = 0
x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = 14² - 4(-1)(-40)
Δ = 196 - 160
Δ = 36    :   √Δ  = 6

x = (-14 ± 6) / -2
x1 = (-14+6)/-2 = 4
x2 = (-14-6)/-2 = 10

Encontramos então os pontos  A ( 4,7) e B (10,7).

Por último, precisamos do ponto D (x,y).  O valor x do ponto D é igual ao x do ponto B, isso porque a reta BD é paralela ao eixo y. Além disso, como estamos num losango, a distância de B até o segmento AC é igual a distância de D até AC.  Então, o valor y do ponto D tem que ser igual a -2. Assim, encontramos também o ponto D (7,-2).



A área do losango é dada por (DM x dm)/2 = (18 x 6)/2 = 54. Alternativa correta é a letra d).




Curiosidade: por meio de derivada, podemos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Para isso,  temos que derivar a função y e igualar essa derivada a zero (y' = 0).  Encontraremos assim o valor Xv que aplicado à função inicial da parábola nos dará o valor de Yv.

y = -x² + 14x - 33
Derivando y, chegaremos na seguinte y'
y' = -2x + 14
Igualando y´= 0
0 = -2x + 14
2x=14
x=7
Aplicando x = 7 na função y
y = - (7)² + 14 . (7) - 33
y = - 49 + 98 - 33
y = 16


Aproveite e continue praticando com uma lista de questões sobre equações do segundo grau.

Um forte abraço e bons estudos.