(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ) A figura a seguir mostra o gráfico da função real de variável real f(x) = ax² + bx + c .

Os sinais dos coeficientes a, b e c são, nessa ordem: 

A) +, +, +
B) –, –, –
C) +, –, –
D) –, +, +
E) +, –, +

Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014.

O coeficiente a desta parábola é positivo, isto porque a parábola tem a sua concavidade voltada para cima, formato de (U).

Além disso, podemos visualizar que o coeficiente c desta parábola é negativo, isto porque a parábola corta o eixo y em uma altura negativa.  É o mesmo que cacular f(0)

f(0) = a.0² + b.0 + c 
f(0) =  c 

Note que quando x = 0 o valor de y vale c e este, de acordo com o gráfico, é negativo.



Até agora, já reunimos as seguintes informações. 

a é positivo.
c é negativo.

Sabendo isso, já temos elementos suficientes para marcar letra (c).  Entretanto, para fins de estudos, vamos obter também o sinal de b.  Podemos observar, analisando este gráfico, que o vértice da parábola tem abscissa positiva.  


A fórmula do Xv = -b/2a.  Como o denominador (2a) da fração é positivo, pois já descobrimos que a é positivo, e o Xv é positivo, então o b terá que ser negativo, pois quando for multiplicado por -1 tornará esta fração positiva.   Logo, como Xv é positivo e a é positivo, então b tem que ser um número negativo.  Basta visualizar o seguinte:
 
Xv =  - b  
             2a

(valor positivo) =  - (valor negativo)  
                                            valor positivo

Repare que o sinal de menos antes de um valor negativo irá proporcionar um valor positivo e com isso a fração ficará positiva.

(valor positivo) =   (valor positivo)  
                                          valor positivo

Podemos concluir assim, que os sinais dos coeficientes a, b e c são, nessa ordem: +, -, -.

Alternativa correta é a letra c).


Podemos encontrar que b é negativo de uma outra maneira. Sejam x1 e x2 as raízes dessa equação do segundo grau, observando o gráfico, podemos notar que x1 é negativo e x2 é positivo.  Além disso, o |x1| < |x2| , isto quer dizer que a soma das duas raízes dessa equação do segundo grau é positiva.  




Exemplificando, imagine que x1 vale -1 e o x2 vale +5.  Perceba que neste exemplo, temos x1 negativo e x2 positivo, além disso, o módulo de x2 é maior que o módulo de x1, ou seja, somando x1 + x2 teríamos uma soma de valor -1 + (+5) = +4 que é positivo.

Sabemos, das Relações de Girard, que a soma das raízes de uma equação do segundo grau (S) é dada pela expressão:

S = - b/a

E nós já sabemos que S é positiva (pela análise do gráfico e dos valores de x1 e x2) e também que a é positivo, logo, é obrigatório que o coeficiente b seja negativo, pois só assim S será positiva.
  
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da Seeduc-RJ.

Um forte abraço e bons estudos.