(ENEM 2022) Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola
atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de
uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura.
Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a
uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da
bola foi descrita pela parábola
y = - x²/6 -7x/3 + 12 ,
em
que y representa a altura da bola em relação ao eixo
x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso
da quadra, como representado na figura. Suponha que
em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a
mesma altura do seu recorde.
A equipe desse jogador participou de um torneio de
voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas
em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses
ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:
• ginásio I: 17 m;
• ginásio II: 18 m;
• ginásio III: 19 m;
• ginásio IV: 21 m;
• ginásio V: 40 m.
O saque desse atleta foi invalidado
A) apenas no ginásio I.
B) apenas nos ginásios I e II.
C) apenas nos ginásios I, II e III.
D) apenas nos ginásios I, II, III e IV.
E) em todos os ginásios.
Solução: questão de matemática do ENEM 2022, prova aplicada no dia 20/11/2022.
Podemos notar que a parábola y = - x²/6 -7x/3 + 12 , possui coeficientes:
a = -1/6
b = -7/3
c = 12
A parábola tem sua concavidade voltada para baixo (formato de ∩) pois seu coeficiente a é negativo, isto quer dizer que haverá um ponto de altura máxima exatamente no vértice da parábola. Podemos encontrar as coordenadas do vértice da parábola (Xv, Yv) por meio das fórmulas a seguir:
f(x) = ax² + bx + c
Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a ; Δ = b² - 4ac
O que nos interessa mesmo é o Yv, que representa o valor da altura máxima, vamos encontrá-lo. Primeiramente, vamos encontrar o valor de Δ
Δ = b² - 4ac
Δ = (-7/3)² - 4 (-1/6) (12)
Δ = (49/9) + (48/6)
Δ = (49/9) + (24/3)
Vamos multiplicar a segunda fração por 3/3
Δ = (49/9) + (24/3)*(3/3)
Δ = (49/9) + (72/9)
Δ = 121/9
Yv = -Δ/4a
Yv = -(121/9) / [4 x (-1/6)]
Yv = -(121/9) / -(2/3)
Yv = (121/9) / (2/3)
Yv = (121/9) x (3/2)
Yv = (121/3) x (1/2)
Yv = 121/6 m
Encontramos que a altura máxima da trajetória da parábola é de 121/6 metros, valor de aproximadamente 20,16 metros. De acordo com o desenho do enunciado, para calcular a distância máxima desde o piso até o teto do ginásio, temos que somar 1,5 m + 20,16 m. Veja na ilustração a seguir:
Somando 20,16 m + 1,5 m = 21,66 m
Todos os ginásios que tiverem altura do teto, em relação aos pisos das quadras, menor do que 21,66 m terão esse saque invalidado, isto porque a bola vai conseguir alcançar o teto.
Vamos agora analisar cada ginásio:
• ginásio I: 17 m; (17 < 21,66) saque invalidado
• ginásio II: 18 m; (18 < 21,66) saque invalidado
• ginásio III: 19 m; (19 < 21,66) saque invalidado
• ginásio IV: 21 m; (21 < 21,66) saque invalidado
• ginásio V: 40 m. (40 > 21,66) o saque NÃO será invalidado
Podemos concluir que o saque desse atleta foi invalidado nos ginásios I, II, III e IV.
Alternativa correta é a letra d) .
