(ENEM 2022) Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola

y = - x²/6 -7x/3 + 12 , 

em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.

A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são: 

• ginásio I: 17 m;
• ginásio II: 18 m;
• ginásio III: 19 m;
• ginásio IV: 21 m;
• ginásio V: 40 m. 

O saque desse atleta foi invalidado 

A) apenas no ginásio I.
B) apenas nos ginásios I e II.
C) apenas nos ginásios I, II e III.
D) apenas nos ginásios I, II, III e IV.
E) em todos os ginásios.

Solução: questão de matemática do ENEM 2022,  prova aplicada no dia 20/11/2022.

Podemos notar que a parábola y = - x²/6 -7x/3 + 12 , possui coeficientes:

a = -1/6
b = -7/3
c = 12

A parábola tem sua concavidade voltada para baixo (formato de ∩) pois seu coeficiente a é negativo, isto quer dizer que haverá um ponto de altura máxima exatamente no vértice da parábola.  Podemos encontrar as coordenadas do vértice da parábola (Xv, Yv) por meio das fórmulas a seguir:

f(x) = ax² + bx + c

Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a ; Δ = b² - 4ac

O que nos interessa mesmo é o Yv, que representa o valor da altura máxima, vamos encontrá-lo. Primeiramente, vamos encontrar o valor de Δ

Δ = b² - 4ac
Δ = (-7/3)² - 4 (-1/6) (12)
Δ = (49/9) + (48/6)
Δ = (49/9) + (24/3)
Vamos multiplicar a segunda fração por 3/3
Δ = (49/9) + (24/3)*(3/3)
Δ = (49/9) + (72/9)
Δ = 121/9

Yv = -Δ/4a
Yv = -(121/9) / [4 x (-1/6)]
Yv = -(121/9) / -(2/3)
Yv = (121/9) / (2/3)
Yv = (121/9) x (3/2)
Yv = (121/3) x (1/2)
Yv = 121/6 m 

Encontramos que a altura máxima da trajetória da parábola é de 121/6 metros, valor de aproximadamente 20,16 metros.  De acordo com o desenho do enunciado, para calcular a distância máxima desde o piso até o teto do ginásio, temos que somar 1,5 m + 20,16 m.  Veja na ilustração a seguir:



Somando 20,16 m + 1,5 m = 21,66 m 

Todos os ginásios que tiverem altura do teto, em relação aos pisos das quadras, menor do que 21,66 m  terão esse saque invalidado, isto porque a bola vai conseguir alcançar o teto.

Vamos agora analisar cada ginásio:

• ginásio I: 17 m;   (17 < 21,66) saque invalidado
• ginásio II: 18 m;  (18 < 21,66) saque invalidado
• ginásio III: 19 m;  (19 < 21,66) saque invalidado
• ginásio IV: 21 m;  (21 < 21,66) saque invalidado
• ginásio V: 40 m.   (40 > 21,66) o saque NÃO será invalidado

Podemos concluir que o saque desse atleta foi invalidado nos ginásios I, II, III e IV.

Alternativa correta é a letra d) .

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.