(EsPCEx 2022) Utilize os dados da figura abaixo para responder às questões 3 e 4.

Dados:

BL é um segmento horizontal e A é o seu ponto médio.
O campo tem comprimento BL= 118m e largura MN.
Os segmentos RS e MN são, respectivamente, os eixos real e imaginário da hipérbole h, dada pela equação:

    x²     -     y²   =  1
1600      900

O ponto I, usado para o pênalti, é um dos focos dessa hipérbole.
R e S são vértices (extremidades do eixo real) da hipérbole h.


3)  A largura MN e a medida IL (distância do pênalti ao gol) são, respectivamente, iguais a

[A] 60m e 9m. [B] 60m e 10m. [C] 80m e 9m. [D] 80m e 10m. [E] 80m e 19m.


4) O ponto A, centro da hipérbole h, é também centro da circunferência j, dada pela equação:

x² + y² = 144

Com isso, é correto afirmar que a distância da circunferência j ao ponto S é igual a

[A] 18m. [B] 27m. [C] 28m. [D] 38m. [E] 47m.

Solução: duas questões de geometria analítica (hipérbole) bem interessantes da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022). Prova aplicada no dia 18/09/2022.

Questão 3) Solução:  vamos ilustrar a figura com mais informações.


Sabemos que a equação reduzida da hipérbole com o eixo real sobre o eixo x e centrada na origem é dada pela fórmula

(x²/a²) - (y²/b²) = 1

Com isso, temos que

a² = 1600
a = ± √1600
a = ± 40
a = 40  (vamos pegar só o valor absoluto)

b² = 900
b = ± √900
b = ± 30
b = 30  (novamente, pegar só o valor absoluto)

Além disso, sabemos que

a² + b² = c²
40² + 30² = c²
1600 + 900 = c²
2500 = c²
c = ± 50
c = 50 (pegamos só o valor absoluto)

Com isso, sabemos que a, b e c valem respectivamente 40, 30 e 50.

eixo real tem medida igual a 2a [ RS = 2a ]
eixo imaginário tem medida igual a 2b [ MN = 2b ]

Deste modo, temos que 

RS = 2 . 40 = 80 m
MN = 2 . 30 = 60 m

A medida IL (distância do pênalti ao gol), pode ser calculada pela diferença AL - c

IL = AL - c

Lembre-se que AL é a metade de BL, ou seja, AL = 118/2.

IL = (118/2) - 50
IL = 59 - 50
IL = 9 m

Resposta para a questão [03] é a letra (a).
Questão 4) Solução:  o ponto S tem coordenadas (a, 0), ou seja, S é o ponto (40,0).

A circunferência j,  centrada na origem e de fórmula x² + y² = 144, possui raio R igual a √144 , ou seja,  R = 12. Com isso, a distância d de S até j pode ser calculada por meio da diferença (40-12) = 28 m, conforme ilustrado a seguir:



Resposta para a questão [04] é a letra (c).

Curiosidade:  em 2018, caiu uma questão bem interessante sobre hipérbole da ESPCEX , aproveite este momento e pratique um pouco mais este tema da geometria analítica no link a seguir: resolver a questão.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.