(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023) Ao se tentar abrir uma porta com um chaveiro que contém várias chaves parecidas, há quem afirme que a porta será aberta somente na última tentativa.  Pedro recebeu a tarefa de guardar equipamentos no paiol e, para tal, deram-lhe um chaveiro contendo oito chaves.  Assim, calcule a probabilidade de que ele acerte somente na última tentativa e assinale a opção correta.

a) 12,5%
b) 25,0%
c) 50,0%
d) 75,0%
e) 87,5%

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023, prova do dia 02/04/2023.

Para calcular a probabilidade de que ele acerte somente na última tentativa, é necessário que ele:


  • erre na primeira tentiva, e depois erre na segunda tentativa, e depois erre na terceira, (...) e continue errando até finalmente errar na sétima tentativa.  Finalmente, na oitava tentativa só restará a chave correta onde ele vai finalmente vai acertar.


Precisamos calcular então o produto entre as probabilidades:

PE1 x PE2 x PE3 x PE4 x PE5 x PE6 x PE7 x PA8

PEn indica a probabilidade de ele errar na n-ésima tentativa.

PA8 indica a probabilidade de ele acertar na 8a tentativa, isto é, depois de ter feito sete tentativas em todas as chaves erradas, sobrando apenas a chave correta. Portanto, temos que PA8 = 1/1 = 1. 

Quanto vale PE1? A probabilidade de ele errar a chave na primeira tentativa, quando ele possui na mão 7 chaves erradas de um total de 8 é igual a 7/8

Quanto vale PE2?  A probabilidade de ele errar a chave na segunda tentativa, quando ele possui na mão (7-1) = 6 chaves erradas de um total de (8-1) = 7 é igual a 6/7

* Note que no cálculo de PE2, eliminamos uma chave errada, foi aquela que ele já errou na tentativa anterior.

Seguindo essa linha de raciocínio, temos que PE3 = 5/6,  PE4 = 4/5 , PE5 = 3/4, PE6 = 2/3 e PE7 = 1/2.  Finalmente, temos que

PE1 x PE2 x PE3 x PE4 x PE5 x PE6 x PE7 x PA8

7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 1
8   7   6   5   4   3    2   1

Simplificando, temos que

7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 1 =  1 
8   7   6   5   4   3    2   1      8 

Finalmente, podemos concluir que a probabilidade de que ele acerte somente na última tentativa é igual a 1/8 = 0,125 = 12,5%

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.