(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Sabendo que a reta r é determinada pelos pontos de interseção da função f(x) = x² - x com a sua inversa f-1(x), como representado na figura abaixo, e seja o menor segmento de reta PP' que une o ponto P(10,0) a esta reta, com P' ∈ r.  Considere o triângulo retângulo OP'P sendo O a origem do eixo cartesiano e reto em P'.  Desse modo, encontre o tamanho do segmento PP' e assinale a opção correta.


a) √2
b) √3
c) 2√3
d) 5√2
e) 5√3

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022, prova aplicada no dia 05/06/2022.

Podemos notar que o objetivo da questão é encontrar a distância do ponto P (10,0) até a reta r que é formada pelos pontos de encontro de f(x) com sua inversa.  Sabemos que os pontos de encontro de uma função f(x) qualquer com sua respectiva inversa sempre estarão sobre a reta y = x.  

**  Um detalhe relevante neste enunciado é que a função f(x) fornecida e ilustrada no gráfico não é inversível, pois faltou especificar qual é o seu domínio.  Note também que o gráfico de f--1 não representa uma função.

Sendo assim, para resolver essa questão, vamos considerar que o objetivo é encontrar a distância do ponto P(10,0) até a reta (y=x), admitindo que a f(x) do enunciado seja uma função inversível, pois sabemos que o ponto de encontro de uma f(x) inversível com sua respectiva inversa está sempre sobre a reta (y=x).




Ou seja, nosso problema agora é calcular a distância do ponto P(10,0) até a reta y=x , que pode ser escrita na forma  x - y  = 0  ou também, destacando seus coeficientes, (1)x+(-1)y+0 = 0

A fórmula da distância (d) de um ponto P (xo , yo) até a reta a.x + b.y + c = 0 é:

d = | a . xo + b . yo + c  | 
              √(a² + b²)              


Aplicando os valores na fórmula, temos que

d = | 1 . 10 + (-1) . 0 + 0 | / √(1² + (-1)²)
d = | 10 | / √2
d = (10/ √2)  *    (√2/ √2)
d = 10√2/2
d = 5√2

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.