(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Considere a elipse E com centro na origem, um dos focos em F1(0, √(2/3)) e que passa pelo ponto P (1/2, 1/2), como mostrado na figura abaixo.  Assinale a opção correta que apresenta a excentricidade de E.

a) 1/6
b) 1/2
c) √(2/3)
d) 1
e) √(3/2)

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022, prova aplicada no dia 05/06/2022.

A equação reduzida desta elipse, com foco sobre o eixo y, é dada por:

(x²/b²) + (y²/a²) = 1

Sabemos que P (1/2, 1/2) é um ponto da elipse, sendo assim, vamos aplicá-lo na equação.

((1/2)²/b²) + ((1/2)²/a²) = 1
((1/4)/b²) + ((1/4)/a²) = 1
(1/4b²) + (1/4a²) = 1
(a²+b²) / (4b²a²) = 1
a² + b² = 4b²a² (Equação I)

Também sabemos que c² = a² - b²  e que o valor de c nesta elipse é igual a √(2/3)

c² = a² - b²
[√(2/3)]² = a² - b²
2/3 = a² - b²
b² = a² - 2/3 (Equação II)

Agora, aplicamos II em I.

a² + (a² - 2/3) = 4(a² - 2/3)a²
2a² - 2/3 = 4a4 - (8/3)a²  (multiplicamos por 3 os dois lados da equação)
6a² - 2 = 12a4 - 8a²
12a4 - 14a² + 2 = 0 (dividimos todos os termos por 2)
6a4 - 7a² + 1 = 0
Substituindo a² = u teremos
6u² - 7u + 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontraremos 
u = 1 e u = 1/6
Com isto, encontramos que 
a = ±1 ou a = ± √(1/6)

Também sabemos que (a > c), então ficamos com a = 1 e finalmente a excentricidade da elipse é dada por

e = c/a
e = √(2/3) / 1
e = √(2/3)

Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade 1:  a equação reduzida da elipse E é a seguinte:   3x² + y² = 1 .

Curiosidade 2:  o valor de a desta elipse também pode ser encontrado utilizando a fórmula:

(distância de F1 até o ponto P)  + (distância de F2 até o ponto P) = 2a

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.