(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) As arestas laterais de uma pirâmide medem 52 cm e sua base é um triângulo isósceles cujos lados medem 24 cm, 12√10 cm e 12√10 cm.  Sabendo que a projeção do vértice da pirâmide na base triangular é o centro de sua circunferência circunscrita, determine a altura dessa pirâmide e assinale a opção correta.

a) 12 cm
b) 16 cm
c) 30 cm
d) 36 cm
e) 48 cm.

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022, prova aplicada no dia 05/06/2022.

Uma questão bem interessante envolvendo vários conceitos da geometria plana e geometria espacial.  Para resolvê-la, primeiramente vamos ilustrar a pirâmide com sua base triangular inscrita em uma circunferência de raio R.



Podemos notar que a altura H pode ser encontrada por meio da relação:

H² + R² = (aresta lateral)²
H² + R² = 52²
H² = 2704 - R² (Equação I)

Precisamos agora da medida do raio R da circunferência que circunscreve o triângulo isósceles.  Podemos obtê-lo por meio da seguinte relação:

Área do triângulo = (a . b . c) / 4R    (Equação II)

Onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo.

Primeiramente, vamos obter a área deste triângulo isósceles.


Área = (base x altura) / 2
Área = (24 . h) / 2
Área = 12.h  (Equação III)

Podemos obter h por meio do Teorema de Pitágoras.

h² + 12² = (12√10)²
h² + 144 = 144 . 10
h² = 10. (144) - 1 . (144)
h² = 9 . (144)
h = 3 . (12)
h = 36 cm

Voltamos com este valor na equação III para encontrar a área do triângulo.

Área = 12 . h
Área = 12 . 36 cm²  

Vamos mantê-la assim mesmo, ou seja, a área vale 12 vezes 36 cm², vamos evitar fazer este produto pois isso vai nos ajudar a economizar tempo e fazer simplificações no próximo passo.

Agora, vamos levar este valor da área do triângulo para a equação II.

Área do triângulo = (a . b . c) / 4R
12 . 36 = (24 . 12√10 . 12√10) / 4R
Note que podemos fazer várias simplificações.
12 . 36 = (24 . 12√10 . 12√10) /   4 R
  1 .  3  = (6 . 10) / R
R = 60/3
R = 20 cm

Finalmente, vamos encontrar a altura H da pirâmide aplicando este valor de R = 20 cm na equação I.

H² = 2704 - R²
H² = 2704 - 400
H² = 2304
H = 48 cm

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.