(UERJ 2026) Questão de geometria espacial que envolve o cálculo do volume de um tetraedro. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UERJ.

(ESA 2025)  A figura abaixo mostra o triângulo ABC circunscrito em uma circunferência de centro O e raio 3 cm. Determine o perímetro da região sombreada. Considere: BÂC = 90º, α = 30º e 𝜋 = 3,14. a) 5,495 cm b) 11,495 cm c) 13,345 cm d) 19,345 cm e) 20,017 cm Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024. Uma questão muito rica abordando vários conceitos da geometria plana.  Inicialmente, vamos ilustrar três raios, cada um deles é perpendicular a um dos lados do triângulo retângulo ABC.  Além disso, vamos trocar  α pelo valor de 30° informado no enunciado. Foram adicionados os pontos D, E e F.  Podemos notar que o ângulo BÔE mede 60°, pois a soma dos três ângulos internos do triângulo BOE vale 180°, já conhecemos um ângulo...

(ENEM 2016 Reaplicação/PPL)  Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m². A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para π. O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte descrita do jardim é A) 100. B) 140. C) 200. D) 800. E) 1 000. Solução:  questão de matemática do ENEM 2016 Reaplicação/PPL. Para resolver essa questão de geometria plana ( polígonos inscritos e circunscritos ), é necessário perceber que o diâmetro da circunferência tem a mesma medida da diagonal do quadrado inscrito na c...

(UECE 2024.1)  No plano, munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, usando o centímetro (cm) como unidade de comprimento, os pontos (0, 4), (8, 8), (16, 4) e (8, 0) são vértices de um losango. Então, é correto concluir que a medida, em cm, do raio da circunferência inscrita neste losango é a)  2  .     √5  b)   8   .     √5  c)   4   .     √5  d)   6   .     √5 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023. Uma questão muito rica abordando vários conceitos de geometria plana: inscrição e circunscrição de polígonos e também geometria analítica.  Na figura a seguir, temos um esboço no plano cartesiano da circunferência inscrita no losango. Sabemos que as duas diagonais do losango formam quatro triângulos retângulos co...

(UECE 2023.2)  A medida, em m³, do volume de uma pirâmide triangular regular na qual a medida da altura é igual a 4 m e a base está inscrita em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 3 m é a) 3√3 . b) 5√3 . c) 7√3 . d) 9√3 . Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023. Para calcular o volume da pirâmide triangular regular ( tetraedro regular ) vamos utilizar a fórmula: V = (1/3) x (área da base) x (altura da pirâmide) O enunciado nos informa que a altura da pirâmide é igual a 4 m.   V = (1/3) x (área da base) x 4 V = (4/3) x (área da base) Agora, precisamos encontrar a área da base, que possui o formato de um triângulo equilátero .  O enunciado nos informa que ele está inscrito em um circunferência de raio igual a 3m.   A seguir, vamos esboçar um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio igua...

(EPCAR 2024)  Na figura abaixo, temos o quadrado EPCA circunscrito à circunferência de centro R. Dentro do quadrado, foi desenhada uma nova circunferência de centro B e tangente a circunferência de centro R no ponto N.  Os lados PC e AC do quadrado tangenciam a circunferência de centro B. Se o lado do quadrado mede 12√ 2 cm, então o segmento CB mede, em cm, a) 36 - 24√ 2 b) 18√ 2  - 24 c) 36√ 2   - 48 d) 16 - 8√ 2 Solução:  questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar)  -  Exame de Admissão ao CPCAR 2024  (prova aplicada no dia 02/07/2023). Uma questão bem interessante de geometria plana, para resolvê-la, vamos ilustrar os segmentos de reta a seguir: Na ilustração acima, podemos perceber que BC é igual a r2 . √ 2 Note que os triângulos retângulos BB'C e RR'C são semelhantes, além disso o ângulo RCR' é igual ao ângulo BCB' que é igual a 45°. Isto quer dizer que no triângulo BB'C o valor de BB' é igual ao valor ...

(EEAR CFS 1/2024)  Sejam os pontos A e B pertencentes a uma circunferência λ, pelos quais são traçadas duas retas tangentes à λ e não paralelas entre si. Se a corda AB é o lado de um eneágono regular inscrito em λ, o ângulo obtuso formado pelas referidas retas mede ______.  a) 100° b) 120° c) 140° d) 160° Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2024 . Prova aplicada no dia 04/06/2023. Para resolver essa questão de geometria plana, vamos ilustrar a circunferência λ, o eneágono regular inscrito em λ, os pontos A e B e as duas retas que tangenciam A e B, vamos chamá-las de r e s. Obs:  em uma situação de prova, onde o tempo é curto, você não precisaria desenhar o eneágono regular inteiro, apenas a parte superior esquerda desta figura já seria suficiente. Note que o ângulo central do eneágono regular inscrito em λ mede 40°.  Isto porque a medida ...

(EEAR CFS 1/2024)  Seja um hexágono regular de 2 cm de lado. Ele foi dividido em 6 triângulos equiláteros e, em cada triângulo, foi inscrito um círculo, como na figura.  Considerando π = 3 e √3 = 1,7 ,  a parte do hexágono que é externa aos círculos tem ______ cm² de área. a) 3,2 b) 3,6 c) 4,2 d) 4,6 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2024 . Prova aplicada no dia 04/06/2023. Repare que a área do hexágono que é externa aos círculos, a qual chamaremos de área objetivo Ao, é igual a seis vezes a área do triângulo equilátero At menos a área do círculo Ac.  Vamos equacionar isso: Ao = 6 x (At - Ac)     "Equação principal" O que vamos fazer agora é calcular individualmente a área do triângulo equilátero e a área do círculo inscrito nele. >> Cálculo de At Área do triângulo equilátero de lado L pode ser calculada p...

(ENEM 2022 Reaplicação/PPL)  Um túnel viário de uma única via possui a entrada na forma de um triângulo equilátero de lado 6 m. O motorista de um caminhão com 3 m de largura deve decidir se passa por esse túnel ou se toma um caminho mais longo. Para decidir, o motorista calcula a altura que esse caminhão deveria ter para tangenciar a entrada do túnel. Considere o caminhão como um paralelepípedo reto.  Essa altura, em metro, é a) 3 b) 3√2 c) 3√3 d) 3√2              2 e)  3√3        2 Solução:  questão de matemática do  ENEM 2022 - Reaplicação/PPL,   prova aplicada no dia 11/01/2023. Inicialmente, vamos ilustrar a vista frontal da entrada do caminhão neste túnel. Podemos encontrar a altura h por meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo ABC. tangente de 60º = (cateto oposto) / (cateto adjacente) √3 = BC/AB √3 = h/(3/2) h = (3/2) . √3 h =  3√3  m       ...

(ENEM 2022 Reaplicação/PPL)  Uma empresa de publicidade está criando um logotipo que tem o formato indicado na figura. O círculo menor está inscrito no quadrado ABCD, e o círculo maior circunscreve o mesmo quadrado. Considere S1 a área do círculo menor e S2 a área do círculo maior. A razão da área do círculo maior para o círculo menor é igual a a) √2 b) 1/2 c) 2 d) 8 e) 16 Solução:  questão de matemática do  ENEM 2022 - Reaplicação/PPL,   prova aplicada no dia 11/01/2023. Nessa questão de geometria plana sobre polígonos inscritos e circunscritos , vamos considerar que o lado do quadrado vale x , sendo assim, as medidas dos raios R1 e R2 serão dadas em termos de x.   Vamos atualizar a figura ilustrando o raio do círculo menor R1 e o raio do círculo maior R2. Da ilustração acima, podemos visualizar que R1 é igual a metade de x.  Já o raio R2 é igual a metade da diagonal do quadrado, sabemos que a diagonal de um quadrado é igual a medida do lado ...

(EEAR CFS 2/2023)  Seja ABC um triângulo isósceles de base BC = x cm. Se cada ângulo da base mede 40° e se o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo mede 2,55 cm, o valor aproximado de x é ______ . (Considere sen 80° = 0,98) a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022. O enunciado da questão nos informa que sen 80° = 0,98 Repare que 80° = 2 x 40° Da trigonometria, sabemos que sen (2θ) = 2 . sen (θ) . cos (θ) Perceba que sen (80°) = sen (2 . 40°) = 2 . sen (40°) . cos (40°) = 0,98 Esta informação será bastante útil nesta resolução. Agora, vamos ilustrar o triângulo e a circunferência. Sabemos que quando um triângulo está inscrito em uma circunferência, então vale a relação: Área do triângulo = a.b.c / 4R   (Equação I)    Onde a,b,c são as medidas dos lados do triângulo e R é o raio da circunferência que circunscreve ...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) As arestas laterais de uma pirâmide medem 52 cm e sua base é um triângulo isósceles cujos lados medem 24 cm, 12√10 cm e 12√10 cm.  Sabendo que a projeção do vértice da pirâmide na base triangular é o centro de sua circunferência circunscrita, determine a altura dessa pirâmide e assinale a opção correta. a) 12 cm b) 16 cm c) 30 cm d) 36 cm e) 48 cm. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Uma questão bem interessante envolvendo vários conceitos da geometria plana e geometria espacial.  Para resolvê-la, primeiramente vamos ilustrar a pirâmide com sua base triangular inscrita em uma circunferência de raio R. Podemos notar que a altura H pode ser encontrada por meio da relação: H² + R² = (aresta lateral)² H² + R² = 52² H² = 2704 - R² (Equação I) Precisamos agora da medida do raio R da circunferência que circunscreve o t...

(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ)  A medida do apótema do triângulo equilátero inscrito em um círculo cujo raio mede √3 é igual a: a) √3 b) 3 c) 6 d) 3/2 e)  √3       2 Solução:  questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014. Vamos ilustrar a resolução deste problema, onde R = raio do círculo = √3 a = apótema do triângulo equilátero  (nosso objetivo) Note que o apótema do triângulo equilátero é a medida ( a ) que parte do baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo e alcança um de seus lados formando com este um ângulo de 90°. Sabemos que no triângulo equilátero ABC a altura, mediana e bissetriz, referente a cada lado, estão sobre a mesma reta.  Podemos perceber que o segmento AA' é a mediana referente ao lado BC.  Na mediana, uma relação muito importante é a seguinte: AO = 2 x OA' Ou seja, na mediana,...

(Colégio Naval 2019)  A circunferência λ, inscrita no triângulo retângulo ABC, tangencia a hipotenusa BC, dividindo-a em dois segmentos de reta de medidas 'p' e 'q', a partir desse ponto de tangência.  A média geométrica dos catetos 'b' e 'c' desse triângulo é igual a: a) (pq) 2 b) (2pq) 2 c) √ pq d) √ 2pq e) √  (pq)/2   Solução:  questão de matemática do Colégio Naval 2019  que aborda várias disciplinas da geometria plana.  Primeiramente, vamos ilustrar a circunferência inscrita no triângulo retângulo e revisar alguns conceitos. Das relações métricas na circunferência, sabemos que os segmentos em verde (DB e EB) são iguais.  Isto ocorre porque os triângulos ODB e OEB possuem as mesmas medidas.  Ambos são triângulos retângulos com a mesma hipotenusa (ilustrada na figura a seguir com medida y em vermelho) e um dos catetos sendo o raio R, logo, os catetos DB e EB tem que ser iguais. O mesmo raciocínio se aplica aos segmentos FC e...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2019) Sendo um hexágono regular inscrito em um círculo de raio 2, calcule a medida da diagonal maior desse hexágono e assinale a opção correta. a) 4 b) 4√3 c) 8 d) 6√3 e) 12 Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2019,  prova do dia 14/04/2019. Uma questão bem interessante de geometria plana (inscrição e circunscrição de polígonos).  Sabemos que quando o hexágono regular está inscrito em um círculo de raio 2, então a aresta do hexágono regular também vale 2.  Veja na ilustração a seguir: Perceba também que a maior diagonal de um hexágono regular vale exatamente duas vezes o valor da aresta do hexágono regular, logo ela vale: 2 x (aresta)   2 x 2 =  4   Alternativa correta é a letra a). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros.   Um forte ab...

(UNICAMP 2022) Um círculo está inscrito em um quadrilátero ABCD. Seja 𝑇 o ponto de tangência do lado DA com o círculo. Sabe-se que as medidas dos lados AB, BC e CD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros e que a medida do lado DA é 3. Considerando que a medida do segmento TA é um número inteiro, as medidas dos lados AB, BC e CD são, respectivamente:  a) 1, 3, 5. b) 2, 3, 4. c) 2, 4, 6. d) 3, 4, 5. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2022. Prova aplicada no dia 07/11/2021. Uma questão interessante de geometria plana, onde utilizaremos o Teorema de Pitot.  Vamos ilustrar o círculo e o quadrilátero propostos no enunciado. De acordo com o Teorema de Pitot: se um quadrilátero é circunscritível, então a soma dos lados opostos tem que ser igual, ou seja,  DA + BC = AB + CD Do enunciado, sabemos que AB, BC e CD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros, logo, temos AB = a1 BC...

(EEAR CFS 1/2022) A razão entre o perímetro do quadrado circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e o perímetro do quadrado inscrito a essa mesma circunferência é  a) 4 b) 2 c) 2√2 d) √2 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Questão muito interessante que envolve inscrição e circunscrição de polígonos regulares .  Vamos ilustrar os dois quadrados e a circunferência: Sejam: >> Quadrado circunscrito (quadrado maior) que possui lado igual a LQ.  Note que LQ é igual ao diâmetro da circunferência, ou seja LQ = 2 x 2 LQ = 4cm Como o perímetro é a soma de seus quatro lados, então o perímetro do quadrado maior vale 4 + 4 + 4 + 4 = 16 cm. >> Quadrado inscrito (quadrado menor) que possui lado igual a Lq.  Note que neste quadrado menor, a diagonal deste é igual ao diâmetro (2x raio). Diagonal do quadrado menor = 2 x 2  Diagonal do quad...

(EsPCEx 2021) Quais as medidas, em centímetros, dos lados do retângulo de maior área que está contido em um triângulo equilátero de lado 8 cm, estando a base do retângulo situada num lado desse triângulo?  [A] 2 e 3√2 [B] 4 e √3 [C] 4 e 3√2 [D] 2 e 2√3 [E] 4 e 2√3 Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021. Questão muito rica e interessante que envolve conhecimentos de geometria plana, relações trigonométricas em um triângulo retângulo, inscrição de polígonos e maximização onde utilizaremos o conceito de vértice de uma parábola. Primeiramente, vamos ilustrar nosso problema: Existe uma relação entre x e y.  Podemos obter essa relação por meio das relações trigonométricas (tangente) . tg 60º = y / [ (8 – x)/2] √3 = 2y / (8 – x) 8√3 – x√3 = 2y  y = 4√3 – (x√3)/2  (Equação I) O objetivo da questão é maximizar a área deste retângulo c...

(Fuzileiro Naval 2021) Em um cilindro circular reto qualquer, a altura é duas vezes o tamanho do diâmetro da base. Determine o volume deste sólido sabendo-se que sua base está inscrita em um quadrado de lado igual a 6 cm.  A) 72π cm³ B) 108π cm³ C) 144π cm³ D) 216π cm³ E) 432π cm³ Solução: nesta questão da prova de 2021 do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2022, vamos calcular o volume de um cilindro circular reto, cuja base está inscrita em um quadrado de lado igual a 6cm.  Repare que a questão aborda temas de geometria plana ( polígonos regulares inscritos e circunscritos ) assim como geometria espacial (volume de sólidos geométricos) .  A base do cilindro é um círculo cujo diâmetro será igual ao lado do quadrado, repare na figura a seguir: O diâmetro da base do cilindro vale 6 cm, como o raio (R) vale a metade, então R = 3cm . A altura (h) do cilindro vale 2 vezes o diâmetro, então h = 2 x 6 = 12 cm. Finalmente, basta apli...

Caro estudante, Elaboramos uma lista com questões de matemática sobre polígonos inscritos e circunscritos. As questões são provenientes de concursos públicos, concursos de carreiras militares e vestibulares para você que está se preparando para exames deste ano.   O tema inscrição e circunscrição está sendo cada vez mais cobrado em vestibulares e concursos públicos.  Recomendamos que você reserve um tempo, resolva todos os exercícios e depois confira o gabarito com a resolução comentada passo a passo. Desejamos sucesso nos estudos. Exercícios sobre Polígonos inscritos e circunscritos Exercício 1 - (EsPCEx 2020) Para fabricar uma mesa redonda que comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu que essa mesa, para ser confortável, deverá considerar, para cada um dos ocupantes, um arco de circunferência com 62,8 cm de comprimento. O tampo redondo da mesa será obtido a partir de uma placa quadrada de madeira compensada. Adotando π = 3,14, a menor medida do lado...