(UERJ 2026) O tetraedro ABCD tem altura AD e base ABC inscrita em um círculo de diâmetro AB, conforme mostra a ilustração. Sabe-se que todo triângulo inscrito em um círculo, que tem um dos lados igual ao diâmetro, é um triângulo retângulo.

(UERJ 2026) Questão de geometria espacial que envolve o cálculo do volume de um tetraedro.

Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UERJ.

Enunciado da Questão

O tetraedro ABCD tem altura AD e base ABC inscrita em um círculo de diâmetro AB, conforme mostra a ilustração. Sabe-se que todo triângulo inscrito em um círculo, que tem um dos lados igual ao diâmetro, é um triângulo retângulo.

Considere que AC = 6 cm, BC = 8 cm e BD = 10√2.

O volume desse tetraedro, em cm³, é igual a:

(A) 240
(B) 120
(C) 90
(D) 80

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Fonte: questão de matemática do Vestibular UERJ 2026 (2º Exame de Qualificação), prova aplicada em 31/08/2025.

Resolução Comentada

Uma questão de geometria bastante rica que nos permite praticar vários conceitos de geometria plana e geometria espacial, por exemplo, Teorema de Pitágoras, polígonos inscritos na circunferência, cálculo da área de um triângulo e cálculo do volume de um tetraedro.  Vamos iniciar a resolução encontrando as medidas AB e AD.

Cálculo de AB

No triângulo retângulo ABC, vamos ilustrar o ângulo reto e as medidas informadas no enunciado.

Uma forma de encontrar quanto mede AB é percebendo que o triângulo retângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo 3-4-5.

• AC é um cateto que mede 2 × 3 = 6
• BC é um cateto que mede 2 × 4 = 8
• AB é a hipotenusa que mede 2 × 5 = 10

Também é possível obter AB usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC:

AC² + BC² = AB²
6² + 8² = AB²
36 + 64 = AB²
AB² = 100
AB = √100
AB = 10

Cálculo de AD

Para calcularmos o volume do tetraedro ABCD, precisamos encontrar sua altura AD, vamos considerar que ela vale h, conforme ilustrado a seguir.

É possível encontrar h usando o Teorema de Pitágoras, mas antes disso, vamos dar uma olhada na figura a seguir: um quadrado de lado 10 cm, cuja diagonal, portanto, mede 10√2 cm.

A figura acima nos ajuda a identificar que a altura h do tetraedro vale 10.  Como exercício, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar h.

10² + h² = (10√2)²
100 + h² = 100·2
100 + h² = 200
h² = 200 - 100
h² = 100
h = √100
h = 10

Cálculo do volume do tetraedro ABCD

Para calcular o volume do tetraedro ABCD, vamos utilizar a fórmula do volume de uma pirâmide:

Volume = (1/3)×(área da base)×altura
Volume = (1/3)×[(8x6)/2]×10
Volume = (1/3)×24×10
Volume = 8×10
Volume = 80 cm³

Resposta Correta

(D) 80

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