(ENEM 2022 Reaplicação/PPL) Uma empresa de publicidade está criando um logotipo que tem o formato indicado na figura. O círculo menor está inscrito no quadrado ABCD, e o círculo maior circunscreve o mesmo quadrado. Considere S1 a área do círculo menor e S2 a área do círculo maior.

A razão da área do círculo maior para o círculo menor é igual a

a) √2
b) 1/2
c) 2
d) 8
e) 16

Solução: questão de matemática do ENEM 2022 - Reaplicação/PPL,  prova aplicada no dia 11/01/2023.

Nessa questão de geometria plana sobre polígonos inscritos e circunscritos, vamos considerar que o lado do quadrado vale x, sendo assim, as medidas dos raios R1 e R2 serão dadas em termos de x.  Vamos atualizar a figura ilustrando o raio do círculo menor R1 e o raio do círculo maior R2.


Da ilustração acima, podemos visualizar que R1 é igual a metade de x.  Já o raio R2 é igual a metade da diagonal do quadrado, sabemos que a diagonal de um quadrado é igual a medida do lado vezes √2.  Isto quer dizer que este quadrado possui diagonal com medida igual a x√2

Então, temos que  

R1 = x/2
R2 = (x√2)/2 

E já podemos calcular as áreas desses dois círculos.

  • S1 é a área do círculo menor;
S1 = π . (R1)2
S1 = π . (x/2)2
S1 = π . (x²/4)
S1 = πx²/4

  • S2 é a área do círculo maior.
S2 = π . (R2)2
S2 = π . [ (x√2)/2 ]2
S2 = π . (x². 2) / 4
S2 = πx²/2

E finalmente, vamos calcular a razão da área do círculo maior para o círculo menor.

S2/S1 = (πx²/2) / (πx²/4) = (πx²/2) . (4/πx²) = 4/2 = 2

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.