(UNICAMP 2022) Um círculo está inscrito em um quadrilátero ABCD. Seja 𝑇 o ponto de tangência do lado DA com o círculo. Sabe-se que as medidas dos lados AB, BC e CD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros e que a medida do lado DA é 3. Considerando que a medida do segmento TA é um número inteiro, as medidas dos lados AB, BC e CD são, respectivamente: 

a) 1, 3, 5.
b) 2, 3, 4.
c) 2, 4, 6.
d) 3, 4, 5.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2022. Prova aplicada no dia 07/11/2021.

Uma questão interessante de geometria plana, onde utilizaremos o Teorema de Pitot.  Vamos ilustrar o círculo e o quadrilátero propostos no enunciado.





De acordo com o Teorema de Pitot: se um quadrilátero é circunscritível, então a soma dos lados opostos tem que ser igual, ou seja, 

DA + BC = AB + CD

Do enunciado, sabemos que AB, BC e CD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros, logo, temos

AB = a1
BC = a1 + r
CD = a1 + 2r
DA = 3

DA + BC = AB + CD
3 + a1 + r = a1 + a1 + 2r
3 = a1 + r

Repare que BC = a1 + r = 3, com isso, para satisfazer o Teorema de Pitot, a PA de números inteiros só pode ter as seguinte medidas:

{ AB, BC, CD } = { 1, 3, 5 }  ou { 2, 3, 4 } 

Mas tem um detalhe importante no enunciado: "considerando que a medida do segmento TA é um número inteiro". Veja na figura que AT = AU e com isso, o lado AB não poderia valer 1, pois forçaria o valor de "a" ser um valor fracionário.  Com isso, o lado AB tem que valer 2.  Finalmente, a PA é dada por {2, 3, 4 }.
 
Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.