(UECE 2023.2) A medida, em m³, do volume de uma pirâmide triangular regular na qual a medida da altura é igual a 4 m e a base está inscrita em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 3 m é

a) 3√3 .
b) 5√3 .
c) 7√3 .
d) 9√3 .

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.

Para calcular o volume da pirâmide triangular regular (tetraedro regular) vamos utilizar a fórmula:

V = (1/3) x (área da base) x (altura da pirâmide)

O enunciado nos informa que a altura da pirâmide é igual a 4 m.  

V = (1/3) x (área da base) x 4
V = (4/3) x (área da base)

Agora, precisamos encontrar a área da base, que possui o formato de um triângulo equilátero.  O enunciado nos informa que ele está inscrito em um circunferência de raio igual a 3m.  

A seguir, vamos esboçar um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio igual 3.



Caso necessário, revise nesta questão sobre triângulo equilátero inscrito na circunferência.  Nela você encontrará uma descrição mais detalhada desta ilustração.

Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo ABC, note que podemos aplicar a fórmula da área do triângulo que utiliza a medida de dois de seus lados e o ângulo θ entre eles, vejamos:

A = (lado 1) x (lado 2) x (seno θ ) x 1/2

Note que o triângulo ABC é formado por 3 triângulos de áreas iguais, são eles AOB, BOC e AOC.  Para encontrar a área de ABC, podemos calcular a área de qualquer um desses triângulos e depois multiplicar o valor por 3, com isso teremos a área de ABC.  Vamos calcular a área de AOB

AAOB = (lado 1) x (lado 2) x (seno θ ) x 1/2
AAOB = 3 x 3 x (seno 120°) x 1/2
Sabemos que o seno de 120° é igual ao seno de 60° que é igual a (√3)/2
AAOB = (9/2) x [(√3)/2]
AAOB = (9√3)/4

Agora, para encontrar a área do triângulo ABC, basta multiplicarmos essa área por 3.

AABC  = 3 x AAOB 
AABC  = 3 x (9√3)/4
AABC  = (27√3)/4  m²

Finalmente, podemos encontrar o volume da pirâmide.

V = (4/3) x (área da base)
V = (4/3) x (27√3)/4
V = 9√3  m³

Alternativa correta é a letra d).

Obs:  você também poderia encontrar a área do triângulo ABC encontrando as medidas do lado e da altura.  Quando um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência, sabemos que (2/3) da altura (h) deste triângulo é igual a medida do raio da circunferência.  Caso necessário revise nesta questão sobre triângulo equilátero inscrito na circunferência.

(2/3) h = 3
2h = 9
h = 9/2 m

Num triângulo equilátero, podemos obter a medida do lado L conhecendo a altura h utilizando as relações trigonométricas no triângulo retângulo.

sen 60° = h / L
h = sen 60°  .  L
9/2 = (√3/2) . L
9 = √3 .  L
L =  9 
      √3
L =  9   *  √3 
      √3      √3
L =   9√3  
          3
L = 3√3

Para calcular a área do triângulo, vamos utilizar a fórmula

Área = (base x altura)/2
Área = (L . h)/2
Área = (3√3) . (9/2)  . (1/2)
Área = (27√3)/4  m²

E desta maneira, você encontraria a mesma área que foi encontrada no método anterior.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.