(EsPCEx 2021) Quais as medidas, em centímetros, dos lados do retângulo de maior área que está contido em um triângulo equilátero de lado 8 cm, estando a base do retângulo situada num lado desse triângulo? 

[A] 2 e 3√2
[B] 4 e √3
[C] 4 e 3√2
[D] 2 e 2√3
[E] 4 e 2√3

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Questão muito rica e interessante que envolve conhecimentos de geometria plana, relações trigonométricas em um triângulo retângulo, inscrição de polígonos e maximização onde utilizaremos o conceito de vértices de uma parábola.

Primeiramente, vamos ilustrar nosso problema:




Repare que existe uma relação entre x e y.  Podemos obter essa relação por meio das relações trigonométricas (tangente).

tg 60º = y / [ (8-x)/2]
√3 = 2y / (8-x)
8.√3 - x.√3 = 2y 
y = 4.√3 - (x√3)/2  (Equação I)

O objetivo da questão é maximizar a área deste retângulo cujas medidas são x e y, logo:

Área (x,y) = x.y   (Equação II)

Vamos aplicar o valor de y da equação I na Equação II.

Área (x) = x . [4.√3 - (x√3)/2]
Área (x) = (4.√3) . x - (√3/2) . x²

Agora, nosso objetivo é maximizar esta área e perceba que ela tem o gráfico de uma parábola (função do 2º grau do tipo f(x) = a.x² + b.x + c), com concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente "a" é negativo [ a = - √3/2 ] , logo ela terá um ponto de máximo exatamente sobre seu vértice.  Podemos obter a coordenada X deste vértice por meio da fórmula:

Xv = -b/2a 
Xv = (-4√3)/2(-√3/2)
Xv = (-4√3)/(-√3)
Xv = 4

Ou seja, quando o valor da medida x do retângulo vale 4, então temos a maior área.  Finalmente, vamos obter o valor de y aplicando x=4 na Equação I.

y = 4.√3 - (x√3)/2
y = 4.√3 - (4√3)/2
y = (8.√3)/2 - (4√3)/2
y = [ (8.√3) - (4√3) ]/2
y = 4.√3 / 2
y = 2√3

Logo, as medidas do retângulo são 4 e 2√3.
 
Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.