(EsPCEx 2021) Quais as medidas, em centímetros, dos lados do retângulo de maior área que está contido em um triângulo equilátero de lado 8 cm, estando a base do retângulo situada num lado desse triângulo?
[A] 2 e 3√2
[B] 4 e √3
[C] 4 e 3√2
[D] 2 e 2√3
[E] 4 e 2√3
Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.
Questão muito rica e interessante que envolve conhecimentos de geometria plana, relações trigonométricas em um triângulo retângulo, inscrição de polígonos e maximização onde utilizaremos o conceito de vértice de uma parábola.
Primeiramente, vamos ilustrar nosso problema:
Existe uma relação entre x e y. Podemos obter essa relação por meio das relações trigonométricas (tangente).
tg 60º = y / [ (8 – x)/2]
√3 = 2y / (8 – x)
8√3 – x√3 = 2y
y = 4√3 – (x√3)/2 (Equação I)
O objetivo da questão é maximizar a área deste retângulo cujas medidas são x e y, logo:
Área (x,y) = x·y (Equação II)
Vamos aplicar o valor de y da equação I na equação II.
Área (x) = x [4√3 – (x√3)/2]
Área (x) = (4√3)x – (√3/2)x²
Agora, nosso objetivo é encontrar o valor de x que dá a área máxima. A área em função de x tem o gráfico de uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente 'a' é negativo [ a = – √3/2 ]. Deste modo, ela terá um ponto de máximo exatamente no vértice da parábola. Podemos obter a coordenada x deste vértice por meio da fórmula:
Xv = –b/(2a)
Xv = (–4√3)/[2(–√3/2)]
Xv = (–4√3)/(–√3)
Xv = 4
Ou seja, quando o valor da medida x do retângulo vale 4, então temos a maior área. Finalmente, vamos obter o valor de y aplicando x = 4 na Equação I.
y = 4√3 – (x√3)/2
y = 4√3 – (4√3)/2
y = (8√3)/2 – (4√3)/2
y = [(8√3) – (4√3)]/2
y = (4√3) / 2
y = 2√3
Logo, as medidas do retângulo são 4 e 2√3.
Alternativa correta é a letra e).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.
Um forte abraço e bons estudos.
