(UECE 2024.1) No plano, munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, usando o centímetro (cm) como unidade de comprimento, os pontos (0, 4), (8, 8), (16, 4) e (8, 0) são vértices de um losango. Então, é correto concluir que a medida, em cm, do raio da circunferência inscrita neste losango é

a)  2  .
    √5 
b)  8  .
    √5 
c)  4  .
    √5 
d)  6  .
    √5

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023.

Uma questão muito rica abordando vários conceitos de geometria plana: inscrição e circunscrição de polígonos e também geometria analítica.  Na figura a seguir, temos um esboço no plano cartesiano da circunferência inscrita no losango.

matemática geometria plana circunferência inscrita em um losango


Sabemos que as duas diagonais do losango formam quatro triângulos retângulos congruentes, deste modo, vamos concentrar nossa análise no triângulo retângulo AOC.  Podemos notar que a hipotenusa AC está tangenciando a circunferência no ponto B.  Por isso, a partir de B, escrevemos o segmento OB, perpendicular a AC, com medida igual ao raio R da circunferência.  Podemos visualizar também que OB é a altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo AOC.  Portanto, vamos utilizar a fórmula a seguir:

a · h = b · c

  • a é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo AOC, neste caso, AC;
  • h é a altura relativa a hipotenusa, neste caso, OB;
  • b e c são as medidas dos catetos, neste caso, AO e OC.
Nesta resolução, as medidas estão todas em cm.

Reescrevendo,

AC · OB = AO · OC

Sabemos que AO = 4, OC = 8 e AC pode ser encontrado por meio do Teorema de Pitágoras.

AC² = AO² + OC²
AC² = 4² + 8²
AC² = (2²)² + (2³)²
AC² = 24 + 26
AC² = 24 (1 + 22)
AC² = 24 (1 + 4)
AC² = 24 (5)
AC = 22 √5
AC = 4 √5

Aplicando estes valores conhecidos na fórmula, vamos finalmente encontrar OB, que é a medida do raio R da circunferência inscrita no losango.

AC · OB = AO · OC
4√5 · R = 4 · 8
√5 · R =  8
R = 8 / √5

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.