(EEAR CFS 2/2023) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC = x cm. Se cada ângulo da base mede 40° e se o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo mede 2,55 cm, o valor aproximado de x é ______ . (Considere sen 80° = 0,98)

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022.

O enunciado da questão nos informa que sen 80° = 0,98

Repare que 80° = 2 x 40°

Da trigonometria, sabemos que

sen (2θ) = 2 . sen (θ) . cos (θ)

Perceba que

sen (80°) = sen (2 . 40°) = 2 . sen (40°) . cos (40°) = 0,98

Esta informação será bastante útil nesta resolução.

Agora, vamos ilustrar o triângulo e a circunferência.


Sabemos que quando um triângulo está inscrito em uma circunferência, então vale a relação:

Área do triângulo = a.b.c / 4R   (Equação I)
  
Onde a,b,c são as medidas dos lados do triângulo e R é o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.

Podemos calcular a área do triângulo por meio da fórmula

Área do triângulo = x . y . sen (40°) / 2  (Equação II)

Agora, vamos aplicar esta expressão no lugar da área do triângulo na Equação I

x . y . sen (40°) / 2 = x . y . y / 4 (2,55)
x . y . sen (40°) / 2 = x . y . y / 10,2
sen(40°) . 10,2 / 2 = y
y = 5,1 . sen(40°)

Agora, vamos utilizar as relações trigonométricas no triângulo retângulo ABA' para obter uma expressão para x.  A medida de BA' = x/2, pois a altura h relativa a base desse triângulo isósceles é também bissetriz e mediana, ou seja, sobre esta última, está dividindo a base em duas medidas iguais.

cos (40°) = cateto adjacente / hipotenusa
cos (40°) = BA' / BA
cos (40°) = (x/2) /y
x/2 = y . cos (40°)
x = 2 . y . cos(40°)
Agora, vamos substituir y por 5,1 . sen (40°)
x = 2 . 5,1 . sen (40°) . cos(40°)
Reorganizando
x = 5,1 . 2 . sen (40°) . cos(40°)
Note que 2 . sen (40°) . cos(40°) = sen (80°) = 0,98
x = 5,1 . 0,98
x = 4,998

Ou seja, o valor aproximado de x é 5 cm.

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.