(EPCAR 2024) Na figura abaixo, temos o quadrado EPCA circunscrito à circunferência de centro R. Dentro do quadrado, foi desenhada uma nova circunferência de centro B e tangente a circunferência de centro R no ponto N. 

Os lados PC e AC do quadrado tangenciam a circunferência de centro B.

Se o lado do quadrado mede 12√2 cm, então o segmento CB mede, em cm,

a) 36 - 24√2
b) 18√2 - 24
c) 36√2  - 48
d) 16 - 8√2

Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2024 (prova aplicada no dia 02/07/2023).

Uma questão bem interessante de geometria plana, para resolvê-la, vamos ilustrar os segmentos de reta a seguir:




Na ilustração acima, podemos perceber que BC é igual a r2 . √2
Note que os triângulos retângulos BB'C e RR'C são semelhantes, além disso o ângulo RCR' é igual ao ângulo BCB' que é igual a 45°. Isto quer dizer que no triângulo BB'C o valor de BB' é igual ao valor de B'C, ou seja

BC² = (BB')² + (B'C)²
BC² = (r2)² + (r2)²
BC² = 2 r2²
BC = r2 . √2

Também podemos notar que o segmento

RC = RN + NB + BC
RC = r1 + r2 + r2 . √2

Antes de prosseguir, vamos obter separadamente RC e r1.


>> Obtendo RC

Note que RC é igual a metade da diagonal do quadrado de lado 12√2 cm. A fórmula da diagonal do quadrado é igual a medida do lado vezes √2.  

d = L√2 

Agora, vamos aplicar L = 12√2

d = 12√2 . √2
d = 12 . 2
d = 24 

Como RC vale a metade da diagonal, então 

RC = 24/2 
RC = 12 

>> Obtendo r1 

Note que r1 é o raio da circunferência maior que está inscrita no quadrado de lado 12√2 cm.  Perceba que esta medida do lado do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência, que vale duas vezes o raio (r1).  

12√2 = diâmetro
12√2 = 2 . r1
r1 = (12√2)/2
r1 = 6√2

Continuando:

RC = r1 + r2 + r2 . √2
12 = 6√2 + r2 + r2 . √2
12 - 6√2  = r2 (√2  + 1)
r2 = 12 - 6√2  
           √2  + 1
Vamos racionalizar multiplicando por (√2  - 1) / (√2  - 1)

r2 = 12 - 6√2  x  (√2  - 1) 
           √2  + 1           (√2  - 1)
r2 = 12√2 -12 -12 + 6√2
                  2 - 1
r2 = 18√2  - 24

E finalmente, para encontrar BC, basta multiplicar r2 por √2

BC = r2 . √2
BC = (18√2  - 24) . √2
BC = 36  - 24√2

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.