(Colégio Naval 2019) A circunferência λ, inscrita no triângulo retângulo ABC, tangencia a hipotenusa BC, dividindo-a em dois segmentos de reta de medidas 'p' e 'q', a partir desse ponto de tangência.  A média geométrica dos catetos 'b' e 'c' desse triângulo é igual a:

a) (pq)2
b) (2pq)2
c) √pq
d) √2pq
e) √ (pq)/2  

Solução: questão de matemática do Colégio Naval 2019 que aborda várias disciplinas da geometria plana.  Primeiramente, vamos ilustrar a circunferência inscrita no triângulo retângulo e revisar alguns conceitos.


Das relações métricas na circunferência, sabemos que os segmentos em verde (DB e EB) são iguais.  Isto ocorre porque os triângulos ODB e OEB possuem as mesmas medidas.  Ambos são triângulos retângulos com a mesma hipotenusa (ilustrada na figura a seguir com medida y em vermelho) e um dos catetos sendo o raio R, logo, os catetos DB e EB tem que ser iguais.



O mesmo raciocínio se aplica aos segmentos FC e EC que também são iguais e valem q, devido à mesma explicação acima.

O objetivo da questão é obter a média geométrica dos catetos "b" e "c".  Re-lembrando a fórmula da média geométrica:  dados n números (a1, a2, a3, .... an), a média geométrica M destes n números será igual a 
 
Como queremos a média geométrica de apenas dois números 'b' e 'c', então a média geométrica deles será igual a raiz quadrada do produto entre eles, ou seja,  √b.c

Todas as alternativas de resposta estão em função de p e q, então vamos calcular o produto b.c em função de p e q.

Podemos visualizar que   

b . c = (p + R) . (q + R)
b . c = pq + pR + qR + R²  (Equação I)

Além disso, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC e com isso trabalhar com as medidas de p e R.  Sabemos que: 

a² = b² + c²
(p + q)² = (p+R)² + (q+R)²
p² + 2pq + q² = p² + 2pR + R² + q² +2qR + R²
2pq = p² + 2pR + R² + q² +2qR + R² - p² -  q²
2pq = 2pR +2qR + 2 R² 
pq = pR + qR + R² (Equação II)

Repare que agora, podemos trabalhar com as duas equações encontradas

b . c = pq + pR + qR + R²  (Equação I)
pq = pR + qR + R² (Equação II)

Na Equação I, podemos substituir a expressão (pR + qR + R² ) pelo seu valor correspodente que é pq.

b . c = pq + pR + qR + R² 
b . c = pq + pq 
b . c = 2pq

Sendo assim, √bc  = √2pq .  Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.