(ESA 2025) A figura abaixo mostra o triângulo ABC circunscrito em uma circunferência de centro O e raio 3 cm. Determine o perímetro da região sombreada. Considere: BÂC = 90º, α = 30º e 𝜋 = 3,14.

(ESA 2025) A figura abaixo mostra o triângulo ABC circunscrito em uma circunferência de centro O e raio 3 cm. Determine o perímetro da região sombreada. Considere: BÂC = 90º, α = 30º e 𝜋 = 3,14.

figura da circunferência inscrita no triângulo ABC

a) 5,495 cm
b) 11,495 cm
c) 13,345 cm
d) 19,345 cm
e) 20,017 cm

Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26. Prova aplicada em 15/09/2024.

Uma questão muito rica abordando vários conceitos da geometria plana. Inicialmente, vamos ilustrar três raios, cada um deles é perpendicular a um dos lados do triângulo retângulo ABC. Além disso, vamos trocar α pelo valor de 30° informado no enunciado.

figura da circunferência inscrita no triângulo ABC com as informações adicionais

Foram adicionados os pontos D, E e F. Podemos notar que o ângulo BÔE mede 60°, pois a soma dos três ângulos internos do triângulo BOE vale 180°, já conhecemos um ângulo de 90° e um ângulo de 30°, então o terceiro tem que medir 60°.

Analisando o quadrado ADOF, podemos notar que o ângulo AÔD vale 45°, pois AO é uma diagonal deste quadrado.

Outra conclusão interessante é que os triângulos retângulos BOE e BOD são congruentes. Podemos notar que possuem a mesma hipotenusa BO. Além disso, cada um deles tem um cateto que mede 3 (OD=OE=3), logo, pelo Teorema de Pitágoras, o outro cateto também terá a mesma medida, ou seja, BD = BE. Portanto, pelo Teorema da Congruência Lado-Lado-Lado (LLL), os triângulos BOE e BOD são congruentes. Além de possuírem lados iguais, eles também possuem ângulos internos iguais. Isto vai nos ajudar a identificar os ângulos internos do triângulo BOD e calcular o perímetro da região sombreada.

figura da circunferência inscrita no triângulo ABC e também o destaque para o perímetro que precisa ser calculado

O perímetro da região sombreada é igual a

R + R + S = 3 + 3 + S = 6 + S

Vamos calcular S, o comprimento do arco ilustrado acima.

S = (255/360) · 2𝜋 · R

S = (255/360) · 2 · 3,14 · 3

S = (255/360) · 6 · 3,14

S = (255/60) · 3,14

S = [(240 + 15)/60] · 3,14

S = [(240/60) + (15/60)] · 3,14

S = (4 + 0,25) · 3,14

S = 4,25 · 3,14

S = 13,345 cm

Finalmente, o perímetro da região sombreada é igual a 6 + 13,345 = 19,345 cm.

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.