(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Sabe-se que

(1-cos²(x))(cotg²(x)+1) = A

para x diferente de kπ, com k ∈ Z, e que

 sec²(x) - 1 = B, quando sen(x) = √2 
  tg² (x) +1                                                  2

Assim, assinale a opção que apresenta o valor de BA.

a) 0
b) 1/2
c) 1
d) 3/2
e) 2

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022, prova aplicada no dia 05/06/2022.

Para resolvermos essa questão, utilizaremos algumas das identidades trignométricas. Sabemos que

sen²(x) + cos²(x) = 1
sen²(x) = 1 - cos²(x)

cotg(x) = 1/tg(x) = 1 / (sen(x)/cos(x)) = cos(x)/sen(x)
Se dividirmos a expressão (sen²(x) + cos²(x) = 1) por sen²(x) teremos o seguinte resultado:
sen²(x)/sen²(x) + cos²(x)/sen²(x) = 1/sen²(x)
1 + cotg²(x) = 1/sen²(x)

Agora, vamos simplificar A:

(1-cos²(x))(cotg²(x)+1) = A
(sen²(x))(1/sen²(x)) = A
A = 1

Agora, vamos trabalhar em B.  Sabemos que se dividirmos a expressão (sen²(x) + cos²(x) = 1) por cos²(x) teremos o seguinte resultado:
sen²(x)/cos²(x) + cos²(x)/cos²(x) = 1/cos²(x)
tg²(x) + 1 = 1/cos²(x)
tg²(x) + 1 = sec²(x)

Vamos aplicar esta expressão em B.

 sec²(x) - 1 
  tg² (x) +1   

 sec²(x) - 1 
  sec²(x)  

sec²(x) / sec²(x)   -  1 / sec²(x)
1 - 1/sec²(x) = B

Sabemos que sec(x) = 1/cos(x)

1 - 1/(1/cos²(x)) = B
1 - cos²(x) = B
sen²(x) = B

Do enunciado, sen(x) = (√2)/2

B = sen²(x) =  [(√2)/2]² = 2/4 
B = 1/2

Finalmente, o valor de BA é igual a (1/2)1 = 1/2.

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.