(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Considere duas fontes de luz, A e B, situadas no eixo das abscissas, com A na origem.  A fonte B é 4 vezes mais brilhante do que a fonte A e distam 15 m entre si.  Suponha que um objeto C é posto no eixo das abscissas entre A e B.  Sabendo que a luminosidade em C é diretamente proporcional à intensidade da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto à mesma fonte.  A que distância de A deve estar C para que seja iluminado igualmente por ambas as fontes?

a) 1 m
b) 3 m
c) 5 m
d) 6m
e) 7m

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022, prova aplicada no dia 05/06/2022.

Para resolvermos essa questão, inicialmente vamos ilustrar as fontes A e B e o objeto C no eixo das abscissas.  Vamos posicionar A na origem (0,0) e B no ponto (+15,0).  Deste modo, C ficará em um ponto (x,0) sendo x um valor positivo.

Perceba na ilustração acima que a distância de A até C vale x e como a distância de A até B vale 15, então a distância de C até B será de 15-x.  Além disso, vamos considerar que a intensidade de A seja um valor k qualquer, de modo que a intensidade de B valerá 4k.

Do enunciado:  "a luminosidade em C é diretamente proporcional à intensidade da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto à mesma fonte".  Sendo assim,

Luminosidade de A em C = (intensidade de A) / (distância entre A e C)²
Luminosidade de A em C = k / (x)²

Luminosidade de B em C = (intensidade de B) / (distância entre B e C)²
Luminosidade de B em C = 4k / (15-x)²

Nosso objetivo é encontrar a que distância de A deve estar C para que seja iluminado igualmente por ambas as fontes, ou seja, precisamos encontrar quanto vale x, para isso teremos que igualar:

k / (x)²  =  4k / (15-x)²
1 / x² = 4/(15² - 2.15.x + x²)
1 / x² = 4/(225 - 30x + x²)
225 - 30x + x² = 4x²
-3x² - 30x + 225 = 0  (vamos dividir todos os elementos por -3)
x² + 10x - 75 = 0

Vamos resolver esta equação do segundo grau pela fórmula de Bhaskara.

x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = 10² - 4.1.(-75)
Δ = 100 + 300
Δ = 400
√Δ = 20

x = (-10 ± 20) / 2

Como C está situado no eixo das abscissas entre 0 e 15 metros, então x é positivo, vamos obter apenas a raiz positiva.

x = (-10 + 20)/2
x = 10/2
x = 5 metros

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.