(IME 2021) Determine a soma dos coeficientes de x³ na expansao de (1 + x)^4 (2 − x² )^5 .

(IME 2021) Determine a soma dos coeficientes de x³ na expansão de  (1 + x)⁴ (2 − x²)⁵ .

(A) -320    (B) -288    (C) -192    (D) 128    (E) 320

Solução: questão do IME onde podemos aplicar a fórmula do termo geral do Binômio de Newton. Seja:

A = (1 + x)⁴ 

B = (2 − x²)⁵

Perceba que na parte A, os coeficientes são multiplicados por xº, x¹, x², x³, x⁴.  Já na parte B, eles são multiplicados por xº, x², x⁴, até x¹⁰.

Só há dois casos (C1 e C2) para obtermos x³ no produto AxB.

C1:  x³ . xº     ou    C2:  x¹ . x² .

Na parte A os coeficientes de x¹ e x³ são facilmente obtidos, veja:

A = (1 + x)⁴  = (1+2x + x²) . (1+2x + x²)

x¹::   2x+2x = 4x    e   x³ :: 2x³ + 2x³ = 4x³

Na parte B, o coeficiente de xº é o (2⁵ = 32), já o coeficiente de x² será encontrado por meio da fórmula do termo geral do Binômio de Newton:   T_{i + 1} = C _n,i . a^n-i . bⁱ

Seja o binômio: (2 − x²)⁵

a = +2

b = -x²

n = 5

i = 1

T_{1 + 1} = C_5,1 . 2^5-1 . (-x²)¹
T₂ = 5 . 2⁴ . (-x²)
T₂ = - 5 . 16 . x²

T₂ = - 80 x²

Agora é só identificar C1 e C2 e fazer a soma C1+C2.

C1:  4 . 32 = 128
C2:  4 . (-80) = -320

C1+C2 = 128 + (- 320) = -192.  Alternativa correta é a letra C.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática de provas anteriores do IME resolvidas.

Um forte abraço e bons estudos.