(ESA 2025)  Sejam 𝑎 ∈ ℤ e 𝑛 ∈ ℕ. Sabendo que no desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎) 𝑛 , o terceiro termo é igual a 60𝑥 4 e a soma de todos os números binomiais é igual a 64, marque a alternativa que indica o valor de 𝑎 2 + 2𝑛. a) 13 b) 15 c) 16 d) 21 e) 37 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024. Em primeiro lugar, vamos encontrar  o terceiro termo no desenvolvimento do binômio  (𝑥 + 𝑎) 𝑛   usando a  Fórmula do Termo Geral do Binômio de Newton. T p+1 = C n,p · x n - p  · a p    Para encontrarmos o terceiro termo, então vamos aplicar p = 2 na fórmula acima. T 2+1  = T 3   = C n,2  · x n - 2  · a 2 Além disso, o enunciado nos informa que  a soma de todos os números binomiais é igual a 64.  Ou seja,  Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n-1 + Cn...

(UECE 2023.2)  O coeficiente de x 2n no desenvolvimento de (1 + x) 2 .( x² + 2) n , sendo n um número inteiro positivo, é igual a A) 1 + n. B) 2 + 2n. C) 3 + 3n. D) 1 + 2n. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023. Em primeiro lugar, vamos desenvolver (1 + x) 2   (1 + x) 2  = 1² + 2 . 1 . x + x² = 1 + 2x + x² Nosso objetivo é obter o coeficiente de x 2n  no desenvolvimento de  (1 + 2x + x²) . ( x² + 2) n  ,  com n um número inteiro positivo Sabemos que ao desenvolver o binômio de Newton ( x² + 2) n   chegaremos num polinômio formado pela soma de termos contendo as seguintes potências de x: (x²) n  , (x²) n-1 , (x²) n-2 , ....  Multiplicando os expoentes (x) 2n   ,  (x) 2n-2 , (x) 2n-4 , .... Note que para obter o coeficiente de x 2n   do produto ( 1 + 2x...

(EsPCEx 2021)  Considere a função p :ℝ→ℝ dada por p(x) = x 5  - 5x 4 + 10x 3  - 10x 2 + 5x - 1 e a função q :ℝ→ℝ onde q (x) = p(x - 2000). O valor numérico de q (2021) é igual a [A] 2.021.000 [B] 2.021.320 [C] 3.200.000 [D] 3.202.021 [E] 4.084.101  Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021. Perceba que  (x - 1) 5  = x 5  - 5x 4  + 10x 3  - 10x 2  + 5x - 1 Sendo assim,  p(x) = (x - 1) 5  . Será mais fácil trabalharmos com p(x) neste formato. O objetivo é encontrar o valor de q (2021), sabemos que q (x) = p(x - 2000) q (2021) = p(2021 - 2000) q (2021) = p(21) Vamos aplicar x = 21 em p(x). p(x) = (x - 1) 5 p(21) = (21-1) 5  = (20) 5   = (2 .10) 5 = 2 5  . 10 5  = 32 . (100 000) = 3.200.000 Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da...

(IME 2021) Determine a soma dos coeficientes de x 3  na expansão de  (1 + x) 4 (2 − x 2 ) 5 . (A) -320    (B) -288    (C) -192    (D) 128    (E) 320 Solução: questão do IME onde podemos aplicar a fórmula do termo geral do Binômio de Newton. Seja: A =  (1 + x) 4   B = (2 − x 2 ) 5 Perceba que na parte A, os coeficientes são multiplicados por xº, x¹, x², x³, x 4 .  Já na parte B, eles são multiplicados por xº, x², x 4 , até x 10 . Só há dois casos (C1 e C2) para obtermos x³ no produto AxB. C1:  x³ . xº     ou    C2:  x¹ . x² . Na parte A os coeficientes de x¹ e x³ são facilmente obtidos, veja: A =  (1 + x) 4   = (1+2x + x²) . (1+2x + x²) x¹::   2x+2x = 4x     e   x³ :: 2x³ + 2x³ = 4x³ Na parte B, o coeficiente de xº é o (2 5  = 32 ), já o coeficiente de x² será encontrado por meio da fórmula do termo geral do Binômio de Newton:   ...

(EsPCEx 2020) Qual o valor de n, no binômio (x+3) n para que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5670? [A] 5 [B] 6 [C] 7 [D] 8 [E] 9 Solução: questão muito interessante da Escola Preparatória de Cadetes do Exército de 2020 sobre Binômio de Newton.  A fórmula do termo geral do Binômio de Newton é: T i + 1 = C n,i  . a n-i  . b i Vamos identificar esses elementos a = x b = +3 n = n Nosso objetivo é encontrar n, de modo que o Termo 5 tenha coeficiente 5670.  Sendo assim, i = 4.  Vamos voltar a fórmula do Binômio de Newton e aplicar estes valores T 4 + 1  = C  n,4  . x n-4  . 3 4 T 5  = C  n,4  . 81 . x n-4  Agora basta igualar  C  n,4  . 81  ao valor 5670 n!/4!(n-4)! =  5670 / 81 n(n-1)(n-2)(n-3) =  70 x 4! n(n-1)(n-2)(n-3) =  70 x 24 Um ponto que precisamos ter atenção aqui é que se multiplicarmos n por n-1, depois por n-2 e depois por n-...