(UECE 2023.2) O coeficiente de x2n no desenvolvimento de (1 + x)2 .( x² + 2)n , sendo n um número inteiro positivo, é igual a

A) 1 + n.
B) 2 + 2n.
C) 3 + 3n.
D) 1 + 2n.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.

Em primeiro lugar, vamos desenvolver (1 + x)2 

(1 + x)2 = 1² + 2 . 1 . x + x² = 1 + 2x + x²

Nosso objetivo é obter o coeficiente de x2n no desenvolvimento de 

(1 + 2x + x²) . ( x² + 2)n ,  com n um número inteiro positivo

Sabemos que ao desenvolver o binômio de Newton ( x² + 2)n  chegaremos num polinômio formado pela soma de termos contendo as seguintes potências de x:

(x²)n , (x²)n-1, (x²)n-2, .... 

Multiplicando os expoentes

(x)2n , (x)2n-2, (x)2n-4, ....

Note que para obter o coeficiente de x2n  do produto (1 + 2x + x²) . ( x² + 2)n,  só nos interessa os dois primeiros termos do binômio de Newton, isto porque teremos

1 multiplicado por um termo com (x)2n 
x² multiplicado por um termo com (x)2n-2

Estes dois produtos são os únicos que irão retornar um termo com (x)2n 

Após constatarmos isso, o que precisamos fazer é aplicar a fórmula do Termo Geral do desenvolvimento do binômio de Newton para obter o 1° termo e o 2°termo do desenvolvimento de ( x² + 2)n.

A fórmula do termo geral do Binômio de Newton é:

Ti + 1 = C n,i . an-i . bi

Vamos identificar esses elementos

a = x²
b = +2
n = n

>> Obtendo o primeiro termo  (aplicamos i = 0)

T0+1 = C n,0 . (x²)n-0 . (+2)0
T1 = 1 . (x²)n . 1
T1 = x2n

>> Obtendo o segundo termo  (aplicamos i = 1)

T1+1 = C n,1 . (x²)n-1 . (+2)1
T2 = n . (x)2n-2 . (2)
T2 = 2n . x2n-2 

Até aqui, sabemos que o desenvolvimento de

( x² + 2)n = x2n  +  2n . x2n-2  +  .....

Finalmente, basta calcular o produto do primeiro termo por 1 e do segundo termo por x²

1 . x2n  + x² . 2n . x2n-2 
x2n  + 2n . x2n-2 + 2 
x2n  + 2n . x2n
x2n (1 + 2n)

Note que 1 + 2n é o coeficiente de x2n  no desenvolvimento de (1 + x)2 . (x² + 2)n 

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.