(ESA 2025) Sejam 𝑎 ∈ ℤ e 𝑛 ∈ ℕ. Sabendo que no desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎)^𝑛 , o terceiro termo é igual a 60𝑥^4 e a soma de todos os números binomiais é igual a 64, marque a alternativa que indica o valor de 𝑎² + 2𝑛.
(ESA 2025) Sejam 𝑎 ∈ ℤ e 𝑛 ∈ ℕ. Sabendo que no desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎)𝑛 , o terceiro termo é igual a 60𝑥4 e a soma de todos os números binomiais é igual a 64, marque a alternativa que indica o valor de 𝑎2 + 2𝑛.
a) 13 b) 15 c) 16 d) 21 e) 37
Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26. Prova aplicada em 15/09/2024.
Em primeiro lugar, vamos encontrar o terceiro termo no desenvolvimento do binômio (𝑥 + 𝑎)𝑛 usando a Fórmula do Termo Geral do Binômio de Newton.
Tp+1 = Cn,p · xn - p · ap
Para encontrarmos o terceiro termo, então vamos aplicar p = 2 na fórmula acima.
T2+1 = T3 = Cn,2 · xn - 2 · a2
Além disso, o enunciado nos informa que a soma de todos os números binomiais é igual a 64. Ou seja,
Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n-1 + Cn,n
Que também pode ser representada assim:
n
0
+
0
n
1
+
1
n
2
+ ... +
2
n
n-1
+
n-1
n
n
n
Estamos diante da soma dos (n+1) elementos da linha n do triângulo de Pascal, cujo o resultado sabemos que é igual 2𝑛 . Caso necessário, você pode fazer uma revisão nessa questão. O enunciado estabeleceu que a soma de todos os números binomiais é igual a 64, então
2𝑛 = 64
2𝑛 = 26
n = 6
Agora, vamos com este valor para o terceiro termo.
T3 = C6,2· x6 - 2 · a2
T3 = [6!/(2!4!)] · x4 · a2
T3 = 15 x4 a2
O enunciado estabelece que T3 = 60𝑥4 , assim, podemos obter a.
15 x4 a2 = 60𝑥4
a2 = 4
Finalmente, o valor de
𝑎2 + 2𝑛 = 4 + 2·6 = 4 + 12 = 16
Alternativa correta é a letra c).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.
Um forte abraço e bons estudos.