(ESA 2025) Sejam 𝑎 ∈ ℤ e 𝑛 ∈ ℕ. Sabendo que no desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎)^𝑛 , o terceiro termo é igual a 60𝑥^4 e a soma de todos os números binomiais é igual a 64, marque a alternativa que indica o valor de 𝑎² + 2𝑛.

(ESA 2025) Sejam 𝑎 ∈ ℤ e 𝑛 ∈ ℕ. Sabendo que no desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎)^𝑛 , o terceiro termo é igual a 60𝑥⁴ e a soma de todos os números binomiais é igual a 64, marque a alternativa que indica o valor de 𝑎² + 2𝑛.

a) 13 b) 15 c) 16 d) 21 e) 37

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Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024.

Em primeiro lugar, vamos encontrar o terceiro termo no desenvolvimento do binômio (𝑥 + 𝑎)^𝑛 usando a Fórmula do Termo Geral do Binômio de Newton.

T_p+1 = C_n,p · x^{n - p} · a^p  

Para encontrarmos o terceiro termo, então vamos aplicar p = 2 na fórmula acima.

T₂₊₁ = T₃  = C_n,2 · x^{n - 2} · a²

Além disso, o enunciado nos informa que a soma de todos os números binomiais é igual a 64.  Ou seja, 

Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n-1 + Cn,n 

Que também pode ser representada assim:

n
0

+

n
1

+

n
2

+ ... +

n
n-1

+

n
n

Estamos diante da soma dos (n+1) elementos da linha n do triângulo de Pascal, cujo o resultado sabemos que é igual a 2^𝑛 .  Caso necessário, você pode fazer uma revisão nessa questão.  O enunciado estabeleceu que a soma de todos os números binomiais é igual a 64, então

2^𝑛 = 64

2^𝑛 = 2⁶

n = 6

Agora, vamos com este valor para o terceiro termo.

T₃  = C_6,2· x^{6 - 2} · a²

T₃  = [6!/(2!4!)] · x⁴ · a²

T₃  = 15 x⁴ a²

O enunciado estabelece que T₃ = 60𝑥⁴ , assim, podemos obter a.

15 x⁴ a² = 60𝑥⁴ 

a² = 4

Finalmente, o valor de 

𝑎² + 2𝑛 = 4 + 2·6 = 4 + 12 = 16

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.