(EsPCEx 2020) Qual o valor de n, no binômio (x+3)n para que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5670?

[A] 5 [B] 6 [C] 7 [D] 8 [E] 9

Solução: questão muito interessante da Escola Preparatória de Cadetes do Exército de 2020 sobre Binômio de Newton.  A fórmula do termo geral do Binômio de Newton é:

Ti + 1 = C n,i . an-i . bi

Vamos identificar esses elementos

a = x
b = +3
n = n

Nosso objetivo é encontrar n, de modo que o Termo 5 tenha coeficiente 5670.  Sendo assim, i = 4.  Vamos voltar a fórmula do Binômio de Newton e aplicar estes valores

T4 + 1 = C n,4 . xn-4 . 34
T5 = C n,4 . 81 . xn-4 

Agora basta igualar C n,4 . 81 ao valor 5670

n!/4!(n-4)! =  5670 / 81
n(n-1)(n-2)(n-3) =  70 x 4!
n(n-1)(n-2)(n-3) =  70 x 24

Um ponto que precisamos ter atenção aqui é que se multiplicarmos n por n-1, depois por n-2 e depois por n-3 chegaremos numa equação muito trabalhosa para resolver.  Como n é um numero natural, então é mais fácil decompor 70 e 24 em fatores primos e resolver de uma forma mais visual.  Primeiramente, vamos decompor 70 e 24 em fatores primos

n(n-1)(n-2)(n-3) =  2x5x7 x 2x2x2x3

Agora, vamos tentar organizar esses elementos de modo que tenhamos, uma sequência decrescente de números.  Repare que temos nestes elementos o produto 8x7x6x5, exatamente decrescente como queremos, veja só:

n(n-1)(n-2)(n-3) =  ( 2x2x2 ) x 7 x (2x3) x 5

n(n-1)(n-2)(n-3) =  8 x 7 x 6 x 5

Finalmente, fica nítido que n = 8
Alternativa correta é a letra D.

Uma curiosidade:  podemos tirar a prova real, como n=8, então o binômio é da forma (x+3)8

Para encontrarmos o termo 5, basta aplicar na fórmula novamente

T4 + 1 = C 8,4 . x8-4 . 34
T5 = 8!/(4)!.(8-4)! . x4 . 81
T5 = 8.7.6.5 / 24 . 81 . x4
T5 = 7.2.5 . 81 . x4
T5 = 5670 . x4

Um forte abraço e bons estudos.