(IME 2021) Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que |z1| = 4,  |z2| = 3 e |z1 + z2| = 6. O valor de |z1 - z2| é:

(A) √7    (B) √3 / 3   (C) 1    (D) √14    (E) 2√3

Solução: questão de matemática sobre números complexos do IME 2020/2021, onde utilizaremos algumas operações com números complexos, como a soma de números complexos, subtração de números complexos e o cálculo do módulo de um número complexo.

z1 = a + bi ;   |z1| = √(a² + b²) = 4      [Eq. I]
z2 = c + di ;   |z2| = √(c² + d²) = 3      [Eq. II]

Das equações I e II temos:

a² + b² = 16   e     c² + d² = 9
Temos que a² + b² + c² + d² = 16 + 9 = 25

Somando esses dois números complexos

z1 + z2 = a+c + (b+d)i ;  

|z1 + z2| =  √[(a + c)² + (b + d)²]  =  6   [Eq. III]

(a + c)² + (b + d)²  =  36
a² + 2ac + c² + b² + 2bd + d² = 36
25 + 2(ac + bd) = 36
2(ac + bd) = 11
ac + bd = 11/2

Subtraindo esses dois números complexos

z1 - z2 = a - c + (b-d)i ;  

|z1 - z2| =  √[(a - c)² + (b - d)²]  

√[a² -2ac + c² + b² -2bd + d²]
√[25 -2(ac + bd)]
Substituindo ac + bd por 11/2
√[25 -2(11/2)]
√(25 -11)
√14

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Números Complexos - Resolvidos.

Um forte abraço e bons estudos.