(IME 2021) Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que |z1| = 4, |z2| = 3 e |z1 + z2| = 6. O valor de |z1 - z2| é:
(IME 2021) Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que |z1| = 4, |z2| = 3 e |z1 + z2| = 6. O valor de |z1 - z2| é:
(A) √ 7 (B) √3 / 3 (C) 1 (D) √ 14 (E) 2√ 3
Solução: questão de matemática sobre números complexos do IME 2020/2021, onde utilizaremos algumas operações com números complexos, como a soma de números complexos, subtração de números complexos e obtenção do módulo de um número complexo. z1 = a + bi ; |z1| = √(a² + b²) = 4 [Eq. I]
z2 = c + di ; |z2| = √(c² + d²) = 3 [Eq. II]
z1 + z2 = a+c + (b+d)i ; |z1 + z2| = √[(a + c)² + (b + d)²] = 6 [Eq. III]
z1 - z2 = a - c + (b-d)i ; |z1 - z2| = √[(a - c)² + (b - d)²] = x [Eq. IV]
Das equações I e II temos:
a² + b² = 16 e c² + d² = 9
Temos que a² + b² + c² + d² = 16 + 9 = 25
Desenvolvendo Eq. III
√[(a + c)² + (b + d)²] = 6
(a + c)² + (b + d)² = 36
a² + 2ac + c² + b² + 2bd + d² = 36
25 + 2 (ac + bd) = 36
2 (ac + bd) = 11
Desenvolvendo Eq. IV
√[(a - c)² + (b - d)²] = x
(a - c)² + (b - d)² = x²
a² -2ac + c² + b² - 2bd + d² = x²
25 - 2 (ac + bd) = x²
25 - 11 = x²
x² = 14
x = √14 . Alternativa correta é a letra D.
Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Números Complexos - Resolvidos.
Um forte abraço e bons estudos.
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