(IME 2021) Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que |z1| = 4, |z2| = 3 e |z1 + z2| = 6. O valor de |z1 - z2| é:
(IME 2021) Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que |z1| = 4, |z2| = 3 e |z1 + z2| = 6. O valor de |z1 - z2| é:
(A) √7 (B) √3 / 3 (C) 1 (D) √14 (E) 2√3
Solução: questão de matemática sobre números complexos do IME 2020/2021, onde utilizaremos algumas operações com números complexos, como a soma de números complexos, subtração de números complexos e o cálculo do módulo de um número complexo. z1 = a + bi ; |z1| = √(a² + b²) = 4 [Eq. I]
z2 = c + di ; |z2| = √(c² + d²) = 3 [Eq. II]
Das equações I e II temos:
a² + b² = 16 e c² + d² = 9
Temos que a² + b² + c² + d² = 16 + 9 = 25
Somando esses dois números complexos
z1 + z2 = a+c + (b+d)i ;
|z1 + z2| = √[(a + c)² + (b + d)²] = 6 [Eq. III]
(a + c)² + (b + d)² = 36
a² + 2ac + c² + b² + 2bd + d² = 36
25 + 2(ac + bd) = 36
2(ac + bd) = 11
ac + bd = 11/2
Subtraindo esses dois números complexos
z1 - z2 = a - c + (b-d)i ;
|z1 - z2| = √[(a - c)² + (b - d)²]
√[a² -2ac + c² + b² -2bd + d²]
√[25 -2(ac + bd)]
Substituindo ac + bd por 11/2
√[25 -2(11/2)]
√(25 -11)
√14
Alternativa correta é a letra d).
Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Números Complexos - Resolvidos.
Um forte abraço e bons estudos.