(IME 2021) Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que |z1| = 4,  |z2| = 3 e |z1 + z2| = 6. O valor de |z1 - z2| é:

(A) √ 7    (B) √3 / 3   (C) 1    (D) √ 14    (E) 2√ 3

Solução: questão de matemática sobre números complexos do IME 2020/2021, onde utilizaremos algumas operações com números complexos, como a soma de números complexos, subtração de números complexos e obtenção do módulo de um número complexo.

z1 = a + bi ;   |z1| = √(a² + b²) = 4      [Eq. I]
z2 = c + di ;   |z2| = √(c² + d²) = 3      [Eq. II]

z1 + z2 = a+c + (b+d)i ;  |z1 + z2| =  √[(a + c)² + (b + d)²]  =  6   [Eq. III]
z1 - z2 = a - c + (b-d)i ;  |z1 - z2| =  √[(a - c)² + (b - d)²]  =   x      [Eq. IV]

Das equações I e II temos:

a² + b² = 16   e     c² + d² = 9
Temos que a² + b² + c² + d² = 16 + 9 = 25

Desenvolvendo Eq. III

√[(a + c)² + (b + d)²]  =  6
(a + c)² + (b + d)²  =  36
a² + 2ac + c² + b² + 2bd + d² = 36
25 + 2 (ac + bd) = 36
2 (ac + bd) = 11


Desenvolvendo Eq. IV

√[(a - c)² + (b - d)²]  =   x
(a - c)² + (b - d)²  =   x²
a² -2ac + c² + b² - 2bd + d² = x²
25 - 2 (ac + bd) = x²
25 - 11 = x²
x² = 14
x = √14 .   Alternativa correta é a letra D.

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Números Complexos - Resolvidos.

Um forte abraço e bons estudos.