(IME 2020) Um triângulo equilátero é projetado ortogonalmente em um plano, gerando um triângulo isósceles, cujo ângulo desigual mede 30º . O cosseno do ângulo do plano do triângulo equilátero com o plano de projeção é:

a) 2√3 - 3  b) 4 - 2 √3   c) 2 - √3   d) 1 - √3   e) (√3)/2  - 1

Solução: questão de geometria muito boa do IME (Instituto Militar de Engenharia), aplicada no exame de 2019/2020. Vamos resolver essa questão passo a passo, primeiramente, vamos desenhar em uma folha o triângulo equilátero de lado (l).

Agora, para facilitar a visualização e compreensão do problema, proponho a você o seguinte exercício: fixe a parte esquerda dessa folha com sua mão esquerda e com a mão direita, comece a girar a parte direita da folha, trazendo-a para um ângulo θ de 90º. Este ângulo representa o ângulo entre o plano da mesa e o plano da folha de papel.

Quando (θ=90º), você perceberá que a projeção do triângulo equilátero no plano da mesa será simplesmente uma linha, de valor igual ao da altura deste triângulo equilátero, ou seja, (l√3)/2.  Conforme nós variamos θ entre 0 ≤ θ < 90º, a projeção no plano da mesa, deste triângulo equilátero, representará diferentes triângulos de altura (l√3)/2.  Repita o exercício, e gire a folha de 0º até 45º e depois até 90º, você perceberá que todos os triângulos projetados possuem a mesma altura de valor (l√3)/2.

Repare também que haverá mudança no comprimento da projeção do segmento AB no plano da mesa, chamaremos esta projeção de A'B'. Perceba que conforme vamos nos aproximando dos 90º, A'B' tende a ficar cada vez menor.
Podemos encontrar o valor do segmento A'B' em função do ângulo θ, que é o ângulo entre os dois planos, por meio das relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Veja que A'B' = AB x cosθ.  Como o segmento AB é o lado (l) do triângulo equillátero, então a base do triângulo isósceles que está sendo projetado no plano da mesa valerá  (l . cosθ)




Já temos elementos suficientes para desenharmos o que é necessário em nosso triângulo isósceles de ângulo desigual de 30º. 




Na figura acima, temos o triângulo A'B'C' que é o triângulo isósceles projetado no plano da mesa .Não precisamos dos segmentos A'C' e nem B'C', trabalharemos apenas com segmentos que foram obtidos e estão contidos no triângulo  A'GC' desenhado em vermelho. Perceba que tg (75º) = [ (l √3)/2 ] / [ (l . cosθ)/2]
tg (75º) = √3 / cosθ

Dica: tg (75º) = tg (30º + 45º)

Aplicando a fórmula de tg (a+b) = [ tg(a) + tg(b) ] / [ 1 - tg(a).tg(b) ]

tg (30º+45º) = [ tg(30º) + tg(45º) ] / [ 1 - tg(30º).tg(45º) ]

Sendo tg(30º) = √3/3  e tg (45º) = 1

tg (75º) = [ √3/3 + 1 ] / [ 1 - √3/3 . 1 ]
tg (75º) = [ (√3+3)/3 ] / [ (3 - √3)/3 ]
tg (75º) =  (√3+3) / (3 - √3) [ multiplicando por (√3+3)/(√3+3) ]
tg (75º) =  (√3+3)² / (9 - 3) 
tg (75º) =  (3+ 6√3 +9) / (6)
tg (75º) =  (12+ 6√3) / (6)
tg (75º) =  6 (2 +√3)/ 6
tg (75º) =  2 + √3


Agora basta igualar  [tg (75º) = √3 / cosθ]

2 + √3  = √3 / cosθ
cosθ = √3 / (2+√3)  [ multiplicando por (2-√3)/(2-√3) ]
cosθ = [√3  .  (2-√3)] /[ (2+√3) (2-√3)]
cosθ = (2√3 -3) / (4-3)
cosθ = 2√3 -3   [ Alternativa correta é a letra a) ]

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do IME.

Um forte abraço e bons estudos.