(IME 2020) Um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vértice, é calculado o produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é 1105, a soma dos seis números das faces é: 

(A) 22 (B) 35 (C) 40 (D) 42 (E) 50

Solução:  questão de matemática interessante do IME (Instituto Militar de Engenharia) que envolve conceitos de geometria espacial, como os elementos de um cubo, além de fatoração de números e operações algébricas.  Vamos ilustrar nosso problema para simplificar os cálculos:




Sejam os números inteiros positivos escritos nas faces horizontais, "a", "b", "c" e "d", com "a" sendo a mais próxima de quem visualiza o desenho, as faces verticais, "e" e "f", onde "e" é a inferior e "f" a superior, e os vértices V1 até V8 de acordo com a ilustração.  Temos que:

V1 = ade
V2 = abe
V3 = bce
V4 = cde
V5 = adf
V6 = abf
V7 = bcf
V8 = cdf

A soma de V1 até V8 vale 1105, que após ser decomposto em números primos, vale 5 x  13 x 17. Vamos simplificar ao máximo a soma V1 até V8:

ade + abe + bce + cde + adf + abf + bcf + cdf
ae ( b + d) + ce ( b + d) + af (b + d) + cf (b+d)
(b+d) [ae + ce + af + cf]
(b+d) [ e (a+c) + f ( a + c)]
(b+d) (a+c) (e+f)
Agora podemos igualar a 1105

(b+d) (a+c) (e+f) = 5 x 13 x 17

Perceba como os elementos 5, 13 e 17 representam cada um deles as somas de duas das seis faces que queremos somar. Sendo assim, podemos encontrar: 

a+b+c+d+e+f = (b+d) + (a+c)+(e+f)

Não sabemos se o 5 é o (b+d) ou (a+c) ou o (e+f), mas não importa, pois a soma 2 + 3 é igual a soma 3 + 2, a ordem dos elementos não altera o resultado final. Podemos afirmar que:

a+b+c+d+e+f = (b+d) + (a+c)+(e+f) = 5 + 13 + 17 
Não necessariamente nesta ordem, mas como a ordem desses elementos não alterará o resultado final, então:

a+b+c+d+e+f = 5 + 13 + 17 = 35. [alternativa correta é a letra B]

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do IME.

Um forte abraço e bons estudos.