(IME 2021) Seja a matriz M =


onde z é o número complexo z = cos(4π/3) + i sen(4π/3), e   z   o seu conjugado e os ângulos estão expressos em radianos. O determinante de M é:

Solução: nesta questão de matemática do IME, vamos trabalhar vários conceitos, como os números complexos, conjugado de um número complexo, potência de números complexos, forma trigonométrica ou polar dos números complexos, seno e cosseno de arcos no ciclo trigonométrico e determinantes de matrizes.  Note que com uma única questão, o IME consegue englobar vários temas diferentes.

Repare que o determinante da matriz é:  D = z² + z

Seja z = cos (240º) + i sen(240º)
z = - cos (60º) + i [-  sen(60º)]
z = - 1/2 - i (√3)/2 ;   sendo assim,  z    = - 1/2 + i (√3)/2  

z² = z . z = - 1/2 + i (√3)/2

D = z² + z   
D = 2 ( -1/2 + i (√3)/2)

O ângulo tem cosseno negativo e seno positivo, logo está no 2° quadrante.  Este ângulo é o 120º, pois 

cos120º = - cos 60º = -1/2
sen 120º = sen 60º = (√3)/2

D = 2 [ cos (120º) + i . sen (120º)]   ;  120º é igual a 2π/3 radianos
D = 2 [ cos (2π/3) + i . sen (2π/3)] ; Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com listas de exercícios resolvidos de matemática dos temas a seguir:

>> Lista de exercícios sobre números complexos.

>> Lista de exercícios sobre matrizes e determinantes.

Um forte abraço e bons estudos.