(IME 2021) Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação a base pentagonal satisfaz:  

(A) 2,9 ≤ h ≤ 3,0
(B) 3,8 ≤ h ≤ 4,0
(C) 4,8 ≤ h ≤ 4,9
(D) 5,8 ≤ h ≤ 6,0
(E) 6,1 ≤ h ≤ 6,2

Solução:  uma questão muito interessante de geometria espacial do IME 2020/2021 que envolve o volume da pirâmide cuja base é um pentágono regular.  Na figura a seguir, estão ilustradas a pirâmide maior de volume V0 que é o copo exótico de vidro, e a pirâmide menor de volume V1 que representa a bebida que está dentro desse copo.



Essas duas pirâmides são semelhantes, a razão de semelhança é 8/9.  Temos que

(razão de semelhança)3 = V1/V0
(8/9)3 = V1/V0
V1 = (8/9)3 V0   (Equação I)

Agora, acontece a inversão do copo, repare na figura a seguir que o volume V1 é o volume de um tronco de pirâmide.


O volume do tronco de pirâmide V1 é igual ao volume da pirâmide maior (V0) menos o volume da pirâmide menor (V2).

V1 = V0 - V2  (Equação II)

Além disso, a pirâmide maior de volume V0 é semelhante à pirâmide menor de volume V2.  A razão de semelhança é igual a x/9.  Temos que

(x/9)3 =  V2/V0 
V2 = (x/9)3 V0   (Equação III)

Agora, vamos substituir os valores de V1 e V2 das equações I e III na equação II.

V1 = V0 - V2  
(8/9)3 V0 = V0 - (x/9)3 V0
8³ = 1 -  x³ 
9³            9³
Multiplicando os dois membros da igualdade por 9³.
8³ = 9³ - x³
x³ = 9³ - 8³
x³ = 217
x = 3√217

A raiz cúbica de 216 = 6, então a raiz cúbica de 217 é um valor muito próximo de 6, mas é um pouco superior a 6.

A altura (h), objetivo da questão, é o comprimento que mede (9-x).
h = 9 - 3√217

2,9 < h < 3. Alternativa correta é a letra a).

Um forte abraço e bons estudos.