(IME 2021) Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação a base pentagonal satisfaz:  

(A) 2,9 ≤ h ≤ 3,0
(B) 3,8 ≤ h ≤ 4,0
(C) 4,8 ≤ h ≤ 4,9
(D) 5,8 ≤ h ≤ 6,0
(E) 6,1 ≤ h ≤ 6,2

Solução:  questão muito interessante de geometria espacial do IME 2020/2021 que envolve o volume da pirâmide cuja base é um pentágono regular.  Conceitos como área do pentágono, semelhança de triângulos, tronco de pirâmide e raiz cúbica também estão presentes.

A área de um pentágono regular é dada por 5al/2, conforme figura a seguir.  O volume da pirâmide é dado por (1/3) x (Área da Base) x (altura).  Logo, o volume genérico de uma pirâmide de altura h e cuja base é um pentágono regular de aresta a e lado l é dado por:  V = (5/6) .a.l.h

Nesta questão, não temos os valores de a e l, então teremos que trabalhar com eles sempre desta forma literal.






O volume total do copo (Vo) é dado por  Vo = (5/6) .a.l.9

Já o volume da bebida (V1) é dado por V1 = (5/6) .a'.l'.h'

Podemos encontrar tanto a' em função de a quanto l' em função de l por semelhança de figuras planas.

9/8 = a/a'
9a' = 8a
a' = (8/9).a  e analogamente l' = (8/9).l

Então V1 = (5/6) .(8/9).a. (8/9).l .8
V1 = (5/6) .a.l . (8³/9²)

Agora acontece a inversão do copo, repare na figura a seguir que o volume V1 é o volume de um tronco de pirâmide.


Vamos obter o volume do tronco de pirâmide calculando o volume maior (Vo) menos o volume menor (V2).  Depois disso igualaremos esse volume ao (V1).

V2 = 5/6 a'' . l'' . h''
h'' = x
Podemos encontrar a'' e l'' , respectivamente,  em função de a e l por meio da semelhança de figuras planas.

9/x = a / a''
9 a'' = ax
a'' = (ax)/9 e analogamente l'' = (lx)/9

V2 = 5/6 . (ax)/9 . (lx)/9 . x
V2 = 5/6 . al . (x³/9²)  

Finalmente, basta igualar V1 = V0 - V2

(5/6) .a.l . (8³/9²)  =    (5/6) .a.l.9   -   5/6 . al . (x³/9²)  

Vamos eliminar os termo (5/6).a.l já que ele é comum a todos.

8³/9² = 9 - x³/9²
8³/9² = 9.(9²/9²) - x³/9²
8³ = 9³ - x³
x³ = 9³ - 8³
x³ = 217
x =  3217

Como a raiz cúbica de 216 = 6, então a raiz cúbica de 217 é um valor muito próximo de 6, mas é um pouco superior a 6.

A altura (h) objetivo da questão é o comprimento que chamamos de (9-x).
h = 9 - 3√217

2,9 < h < 3. Alternativa correta é a letra e).

Um forte abraço e bons estudos.