(IME 2021) Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação a base pentagonal satisfaz:
(IME 2021) Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação a base pentagonal satisfaz:
(A) 2,9 ≤ h ≤ 3,0
(B) 3,8 ≤ h ≤ 4,0
(C) 4,8 ≤ h ≤ 4,9
(D) 5,8 ≤ h ≤ 6,0
(E) 6,1 ≤ h ≤ 6,2
Essas duas pirâmides são semelhantes, a razão de semelhança é 8/9. Temos que
(razão de semelhança)3 = V1/V0
(8/9)3 = V1/V0
V1 = (8/9)3 V0 (Equação I)
Agora, acontece a inversão do copo, repare na figura a seguir que o volume V1 é o volume de um tronco de pirâmide.
O volume do tronco de pirâmide V1 é igual ao volume da pirâmide maior (V0) menos o volume da pirâmide menor (V2).
V1 = V0 - V2 (Equação II)
Além disso, a pirâmide maior de volume V0 é semelhante à pirâmide menor de volume V2. A razão de semelhança é igual a x/9. Temos que
(x/9)3 = V2/V0
V2 = (x/9)3 V0 (Equação III)
Agora, vamos substituir os valores de V1 e V2 das equações I e III na equação II.
V1 = V0 - V2
(8/9)3 V0 = V0 - (x/9)3 V0
8³ = 1 - x³
9³ 9³
9³ 9³
Multiplicando os dois membros da igualdade por 9³.
8³ = 9³ - x³
x³ = 9³ - 8³
x³ = 217
x = 3√217
A raiz cúbica de 216 = 6, então a raiz cúbica de 217 é um valor muito próximo de 6, mas é um pouco superior a 6.
A altura (h), objetivo da questão, é o comprimento que mede (9-x).
h = 9 - 3√217
2,9 < h < 3. Alternativa correta é a letra a).
Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Geometria Espacial - volume dos principais sólidos.
Um forte abraço e bons estudos.
