(IME 2021) Considere o sistema de equações:

onde x, y e z são variáveis e k é uma constante numérica real.  Esse sistema terá solução se:

(A) k < −2
(B) −2 < k < 0
(C) 0 < k < 2
(D) 2 < k < 4
(E) k > 4 

Solução:  nesta questão de Matemática do IME 2020/2021, vamos simplificar um sistema de equações logarítmicas até chegarmos num sistema linear, e também usaremos a condição de existência dos logaritmos.

Aplicando as condições de existência dos logaritmos nas equações do sistema, temos:

 -2x + 3y + k >0
k > 2x - 3y

z>0

1-y > 0
y < 1

x>0 e x ≠ 1

Vamos resolver o sistema:

log (-2x + 3y + k) = log (3.z)
-2x + 3y + k = 3z (Equação I)

1-y = x (Equação II)

x + z = 1 (Equação III)

Agora, temos um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas.  Vamos colocar y e z em função de x usando as equações I e II, e depois substitui-los na equação III para encontrar o valor da constante k.

y = 1-x
z = 1- x

Aplicando na Equação I

-2x + 3 (1-x) + k = 3 (1-x) 
k = 2x
x = k/2

y = 1-x
y = 1 - k/2 

z = 1 - x
z = 1 - k/2

Finalmente, aplicamos as condições de existência:

-----   x>0  e  x ≠ 1
k/2 > 0     e  k/2 ≠ 1
k > 0         e  k ≠ 2

-----   y<1
1-k/2 < 1
-k/2 < 0
-k<0
k>0

-----   z>0
1-k/2 > 0
-k/2 > -1
-k > -2
k < 2

----- k > 2x - 3y
k > 2 . (k/2) - 3 . (1 -k/2)
k > k - 3 + 3k/2
- 3k/2 > -3
-k/2 > -1
-k > -2
k < 2

Para atender a todas as condições, 0 < k < 2.  Alternativa correta é a letra c.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do IME resolvidas. 

Um forte abraço e bons estudos.