(IME 2021) Considere o sistema de equações: onde x, y e z são variáveis e k é uma constante numérica real. Esse sistema terá solução se:
(IME 2021) Considere o sistema de equações:
onde x, y e z são variáveis e k é uma constante numérica real. Esse sistema terá solução se:
(A) k < −2
(B) −2 < k < 0
(C) 0 < k < 2
(D) 2 < k < 4
(E) k > 4
Aplicando as condições de existência dos logaritmos nas equações do sistema, temos:
-2x + 3y + k >0
k > 2x - 3y
z>0
1-y > 0
y < 1
x>0 e x ≠ 1
Vamos resolver o sistema:
log (-2x + 3y + k) = log (3.z)
-2x + 3y + k = 3z (Equação I)
1-y = x (Equação II)
x + z = 1 (Equação III)
Agora, temos um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas. Vamos colocar y e z em função de x usando as equações I e II, e depois substitui-los na equação III para encontrar o valor da constante k.
y = 1-x
z = 1- x
Aplicando na Equação I
-2x + 3 (1-x) + k = 3 (1-x)
k = 2x
x = k/2
y = 1-x
y = 1 - k/2
z = 1 - x
z = 1 - k/2
Finalmente, aplicamos as condições de existência:
----- x>0 e x ≠ 1
k/2 > 0 e k/2 ≠ 1
k > 0 e k ≠ 2
----- y<1
1-k/2 < 1
-k/2 < 0
-k<0
k>0
----- z>0
1-k/2 > 0
-k/2 > -1
-k > -2
k < 2
----- k > 2x - 3y
k > 2 . (k/2) - 3 . (1 -k/2)
k > k - 3 + 3k/2
- 3k/2 > -3
-k/2 > -1
-k > -2
k < 2
Para atender a todas as condições, 0 < k < 2. Alternativa correta é a letra c.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do IME resolvidas.
Um forte abraço e bons estudos.