(IME 2021) Seja a equação: 7^4x - 10 . 7^3x + 17.7^2x + 40.7^x = 12.7. Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:

(IME 2021) Seja a equação

7^4x - 10 . 7^3x + 17.7^2x + 40.7^x = 12.7

Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos: 

(A) pode-se construir um triângulo escaleno.
(B) pode-se construir um triângulo isósceles.
(C) pode-se construir um quadrilátero.
(D) pode-se construir um pentágono.
(E) não é possível construir qualquer polígono.

Solução:  questão de matemática muito rica do IME (Instituto Militar de Engenharia) que engloba temas como equações exponenciais, equações polinomiais, logaritmos e geometria.

Na equação dada, vamos fazer a substituição a seguir:  7^x = y.  Assim, teremos a seguinte equação polinomial de grau 4.

y⁴ - 10 y³ + 17. y² + 40. y - 2.2.3.7 = 0

São fortes candidatos a raiz desse polinômio: {1, 2, 3, 7 e estes mesmos números multiplicados por -1}

Encontraremos (y = 2) como uma das raízes.  Dividindo-se o polinômio por (y-2) chegaremos a:

y³ - 8y² + y + 42 = 0

Caso seja necessário, veja neste artigo: como realizar a divisão de polinômios.

São fortes candidatos a raiz desse polinômio: {3 e 7 e estes mesmos números multiplicados por -1}

Encontraremos (y=3) como uma das raízes. Dividindo-se o polinômio por (y-3) chegaremos a:

y² - 5y -14 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau pelo método de Bhaskara chegaremos a y = -2 e y = 7.

Encontramos os seguintes valores para y = {-2, 2, 3 e 7}. Agora vamos encontrar x por meio da substituição que fizemos:   7^x = y.

>> 7^x = -2  [ Não possui solução real]

>> 7^x = 2 

x1 = log₇(2)

 >> 7^x = 3   

x2 = log₇(3)

 >> 7^x = 7   

x3 = 1

Nesta questão, vai ser conveniente trabalharmos com x3 = 1 = log₇(7)

Com esta informação, podemos eliminar as opções de resposta b), c) e d).

Para verificarmos se as medidas encontradas podem construir um triângulo escaleno, precisamos somar dois de seus lados e verificar se esta soma supera o lado restante. Isto deve acontecer em todos os três casos. Basta que o teste falhe uma única vez e não teremos a possibilidade de construir um triângulo.  

Não será possível construir um triângulo, isto porque a soma x1 + x2 não é maior do que x3, vamos verificar isso:

log₇(2) + log₇(3) = log₇(2·3) =  log₇(6)

Sabemos que log₇(6) < log₇(7) portanto, não será possível formar um triângulo.

Logo, a alternativa correta é a letra (E) não é possível construir qualquer polígono.

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos sobre equações exponenciais.

Ou também, confira uma lista de exercícios resolvidos sobre logaritmos.

Um forte abraço e bons estudos.