(IME 2021) Seja a equação

74x - 10 . 73x + 17.72x + 40.7x = 12.7

Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos: 

(A) pode-se construir um triângulo escaleno.
(B) pode-se construir um triângulo isósceles.
(C) pode-se construir um quadrilátero.
(D) pode-se construir um pentágono.
(E) não é possível construir qualquer polígono.

Solução:  questão de matemática muito rica do IME (Instituto Militar de Engenharia) que engloba temas como equações exponenciais, equações polinomiais, logaritmos e geometria.

Na equação dada, vamos fazer substituição a seguir:  7x = y.  Assim, teremos a seguinte equação polinomial de grau 4.

y4 - 10 y3 + 17. y2 + 40. y - 2.2.3.7 = 0

São fortes candidatos a raiz desse polinômio: {1, 2, 3, 7 e estes mesmos números multiplicados por -1}

Encontraremos (y = 2) como uma das raízes.  Dividindo-se o polinômio por (y-2) chegaremos a:

y³ - 8y² + y + 42 = 0

Caso seja necessário, veja neste artigo: como realizar a divisão de polinômios.

São fortes candidatos a raiz desse polinômio: {3 e 7 e estes mesmos números multiplicados por -1}

Encontraremos (y=3) como uma das raízes. Dividindo-se o polinômio por (y-3) chegaremos a:

y² - 5y -14 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau pelo método de Bhaskara chegaremos a y = -2 e y = 7.

Encontramos os seguintes valores para y = {-2, 2, 3 e 7}. Agora vamos encontrar x por meio da substituição que fizemos:   7x = y.


>> 7x = -2  [ Não existe]


>> 7x = 2 

Aplicando log dos dois lados.

log 7x = log 2

x . log 7 = log 2

x1 = log 2 / log 7


 >> 7x = 3   ;  x2 = log 3 / log 7


 >> 7x = 7   ;    x3 = 1

Com esta informação podemos eliminar as opções de resposta b) , c) e d).

Para verificarmos se as medidas encontradas podem representar, no mínimo, um triângulo escaleno, precisamos somar dois de seus lados e verificar se esta soma supera o lado restante. Isto deve acontecer em todos os três casos. Basta que este teste falhe uma única vez e não teremos a possibilidade de construir um triângulo.  Seria algo simples se os valores de x não estivessem representados em divisão de logaritmos.

É importante o candidato decorar log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47.  Se você sabe de cabeça que log 7 = 0,84509804 ou simplesmente 0,84, então tudo bem.  Caso você não saiba de cabeça, podemos estimá-lo por meio de uma interpolação linear.

log (6) = log (2.3) = log 2 + log 3 = 0,30 + 0,47 = 0,77

log(7) = ?

log(8) = log (2³) = 3 . log 2 = 3 . 0,30 = 0,90

Fazendo uma aproximação pelo método da interpolação linear, vamos considerar que log(6), log (7) e log(8) estão sobre uma reta, então o log (7) seria aproximadamente uma média entre log(8) e log(6). Chegaríamos a log(7)  ≅ 0,835.  Vamos usar log (7) = 0,83.  Repare que esta técnica nos permitiu chegar a um valor razoavelmente aproximado para log(7).

x1 = log 2 / log 7 ≅ 0,30 / 0,83 ≅ 0,36 

x2 = (log 3) /  (log 7) ≅ 0,47 / 0,83 ≅ 0,56

x3 = 1

Como a soma 0,36 + 0,56 < 1, então não é possível formar um triângulo.  Logo, a alternativa correta é a letra (E) não é possível construir qualquer polígono.

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos sobre equações exponenciais.

Ou confira uma lista de exercícios resolvidos sobre logaritmos.

Um forte abraço e bons estudos.