(Vestibular CEDERJ 2019.2) Se m e n são números reais tais que o polinômio p(x) = x³ - x² + mx + n é divisível por x² + 1, então m - n é igual a

a) 0
b) 1
c) -2
d) 2

Solução:  questão sobre polinômios onde precisamos dividir p(x) = x³ - x² + mx + n  por   (x² + 1) e igualar o resto dessa divisão a zero, isso porque p(x) é divisível por x² +1. Vejamos:

Escolhemos x como o primeiro elemento do quociente, pois ao ser multiplicado por (x² + 1) irá resultar em (x³ + x).
Depois jogaremos (x³ + x) para baixo do dividendo, e para levarmos ele até lá é preciso trocar seu sinal, ou seja, irá o valor de  - (x³ + x)   =  -x³ - x.  Vejamos:


Agora vamos somar o dividendo com -x³ - x. Perceba que o elemento x³ será eliminado que era exatamente a intenção inicial.


Agora precisamos adicionar um novo elemento ao quociente que ao ser multiplicado por x² resulte em -x², e que ao ser transferido para baixo do dividendo, se tornará + x² e com isso irá eliminar o -x² que está lá.  Vamos usar o (-1).  Vejamos:

Agora multiplicaremos -1 por (x² + 1), o resultado será -x² -1.  Agora jogaremos esse resultado para baixo do dividendo, e para isso, precisamos trocar seu sinal  - ( -x² - 1) = +x² +1 .  Vejamos


Por último somaremos.  Vejamos:



Como o resto tem que ser zero, então
-x + 1 + mx + n = 0
x ( -1 + m) + (n+1) = 0

-1+m = 0   e   n+1 = 0
m=1           e    n  = -1

Por último, o objetivo da questão é o valor de m - n
m - n = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2   [alternativa correta é a letra D]

Espero que esta resolução passo a passo tenha te ajudado a compreender essa divisão de polinômios. Um forte abraço e bons estudos.