Equação Exponencial - Exercícios Resolvidos
Hoje vamos estudar com exercícios resolvidos sobre equações exponenciais.
"Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente."
Frase extraída do livro Matemática Fundamental de autoria de GIOVANNI, BONJORNO E GIOVANNI Jr.
São alguns exemplos de equações exponenciais:
a) 2x b) 4x + 20 = 2x c) M = C ( 1+i)t d) VD = VF (1-i)t
Vamos aos exercícios:
1 - Resolver a equação 7x+3 = 49x
2 - (ESA - Escola de Sargento das Armas - 2012 ) O conjunto solução da equação exponencial 4x - 2x = 56 é
a) { -7, 8} b) {3,8} c) {3} d) {2,3} e) {8}
3 - ( ESA - Escola de Sargento das Armas - 2012) Se 5 x+2 = 100 , então 5 2x é igual a:
a) 4 b) 8 c) 10 d) 16 e) 100
4 - Uma determinada máquina adquirida por R$ 20.000,00 deprecia 10% ao ano. Qual será o valor desta máquina 5 anos após sua compra?
5 - A população de uma determina cidade no ano 2000 era de 100.000 habitantes, desde então passou a crescer 10% ao ano. Qual será a população desta cidade no ano 2030?
Vejamos a solução de cada questão sobre equação exponencial passo a passo a partir de agora:
1) 7x+3 = 49x
7x+3 = (7 2)x
7x+3 = 7 2x
x+3 = 2x
x = 3
2) 4x - 2x = 56
(2 2)x - 2x - 56 = 0
(2 x)2 - (2x) - 56 = 0 [ vamos substituir 2x = y ]
y2 - y - 56 = 0
Podemos agora resolver pela fórmula de Bhaskara
y = (-b ± √Δ) / 2a e Δ = b² - 4ac
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4 . (1).(-56) = 1 + 224 = 225
√Δ = 15
y = (-b ± √Δ) / 2a
y = (1 ± 15) / 2
y1 = 16/2 = 8 e y2 = -14/2 = -7
Logo, temos que y1 = 8 e y2 = -7
Precisamos voltar agora até 2x = y
2x = y1 ----- 2x = y2
2x = 8 ----- 2x = -7 ( esse caso não Existe, pois 2x é sempre positivo)
2x = 2³
x = 3
Resposta é letra c) {3}
3) 5 x+2 = 100 , então 5 2x ?
5x.
5x = 4 e 5 2x = (5x)2
5 2x = (4)2 = 16 Resposta é letra D
4) Para esse exercício podemos usar a equação exponencial de um crescimento (ou decrescimento) dada uma situação inicial, uma taxa e um período de tempo.
Valor Futuro = Valor Inicial (1+ i)t
Valor Futuro = é o que desejamos calcular
Valor Inicial = R$ 20.000,00
t = 5
i = -10% (valor negativo já que representa um decrescimento)
VF = 20.000 ( 1 -0,10)5
VF = 20.000 ( 0,90)5
VF = 20.000 (0,59) = R$ 11.809,80
A fórmula utilizada é a mesma fórmula do montante de um capital nos juros compostos. Essa fórmula representa uma equação exponencial. Veja aqui um exercício sobre juros compostos.
5) Considerando o ano 2.000 como sendo (t=0), 2001 como (t=1), e assim sucessivamente, em 2030 (t=30).
VF = objetivo a ser calcular
VI = 100.000
t = 30
i = +10% (valor positivo já que representa um crescimento)
VF = 100.000 (1 + 0,10)30
VF = 100.000 (1,10)30
VF = 100.000 (17,4494)
VF = 1.744.940 habitantes
Espero ter ajudado nos seus estudos com estes exercícios introdutórios de equações exponenciais. O que você acha de realizar agora mais questões de concursos e vestibulares sobre equação exponencial? Na lista a seguir, compartilhamos mais questões sobre este tema que possuem um nível de dificuldade um pouco maior.
6) (EsPCEx 2020) No ano de 2010, uma cidade tinha 100.000 habitantes. Nessa cidade, a população cresce a uma taxa de 20% ao ano. De posse dessas informações, a população dessa cidade em 2014 será de
[A] 207.360 habitantes.
[B] 100.160 habitantes.
[C] 180.000 habitantes.
[D] 172.800 habitantes.
[E] 156.630 habitantes.
Link para a solução da questão 6.
7) (ENEM PPL 2019) Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial N(t) = N0ekt, em que N0 é o número de bactérias no instante do início da observação (t = 0) e representa uma constante real maior que 1, e k é uma constante real positiva.
Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado.
Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi
A) 3N0
B) 15N0
C) 243N0
D) 360N0
E) 729N0
Link para a solução da questão 7.
8) (Polícia Rodoviária Federal - PRF 2018 - Banca: CESPE/UNB) Para avaliar a resposta dos motoristas a uma campanha educativa promovida pela PRF, foi proposta a função f(x) = 350 + 150e–x , que modela a quantidade de acidentes de trânsito com vítimas fatais ocorridos em cada ano. Nessa função, x ≥ 0 indica o número de anos decorridos após o início da campanha. Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. [**Nesta questão é necessário julgar se os itens 27 e 28 são verdadeiros ou falsos].
Item 27) Segundo o modelo apresentado, após dez anos de campanha educativa, haverá, em cada um dos anos seguintes, menos de 300 acidentes de trânsito com vítimas fatais.
Item 28) De acordo com o modelo, no final do primeiro ano da campanha, apesar do decréscimo com relação ao ano anterior, ainda ocorreram mais de 400 acidentes de trânsito com vítimas fatais.
9) (Concurso: Escriturário Banco do Brasil 2018 / Banca: Fundação Cesgranrio)
Para x > 0, seja Sx a soma
O número real x para o qual se tem Sx = 1/4 é
(A) 4
(B) log2 5
(C) 3/2
(D) 5/2
(E) log2 3
10) (ENEM 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5.000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é:
a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
Espero que tenha gostado dos exercícios de equações exponenciais. Continue praticando ainda mais, confira estes exercícios resolvidos sobre logaritmos. Um forte abraço e bons estudos!
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