(ENEM 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5.000,00.   Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais.  Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula



Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013;  2,602 como aproximação para log 400;  2,525 como aproximação para log 335.

 De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é:

 a) 12  b)  14   c)  15   d)  16   e)  17
Solução:  essa é uma questão de Sistema Price, onde as prestações de um empréstimo são pagas com valores sempre iguais, Exatamente como naqueles anúncios:  "televisão em 24 x de R$ 80,00",  ou "automóvel em 60 vezes fixas de 799,00".

A questão, na minha opinião, é difícil, mas a banca facilitou bastante ao informar no enunciado a fórmula do Sistema Price e nos oferecer os resultados dos logaritmos que precisaremos para efetuar os cálculos.

P = 5000.0,013 ( 1,013)n  /  (1,013)n - 1            [Vamos adotar P = 400]
400 = 65 ( 1,013)n  /  (1,013)n - 1
400 [ (1,013)n - 1] = 65 ( 1,013)n
400 (1,013)n  - 400 = 65 ( 1,013)n
400 (1,013)n  - 65 ( 1,013)n  = 400
335 (1,013)n = 400     [vamos agora aplicar log dos dois lados]
log  335 (1,013)n  = log 400
log 335 + log (1,013)n = log 400
log 335 + n log (1,103) = log 400

A partir de agora, aplicaremos os logaritmos informados no enunciado da questão.

2,525 + n. 0,005 = 2,602
0,005 n = 2,602 - 2,525 = 0,077
n = 0,077/0,005 = 15,4 parcelas.

Agora precisamos julgar esse 15,4, pois n é o número de parcelas, que deve ser um valor inteiro.

Se n = 15 irá aumentar o valor prestação, para algo um pouco superior a R$ 400,00, inviabilizando a viagem.

Se n = 16 irá reduzir o valor da prestação, para algo um pouco inferior a R$ 400,00, tornando viável a viagem na menor parcela possível abaixo de 400,00.   Sendo assim a alternativa correta é letra D.

Curiosidade:   O Excel contém a função PGTO que calcula o valor das parcelas no sistema Price.   A taxa deste empréstimo, embora não tenha sido informada, está na própria fórmula dada pelo enunciado da questão do ENEM e possui valor de 1,3% ao mês.  O empréstimo é de 5.000 e os valores foram simulados para parcelas de 13, 14, 15 e 16 vezes, confira a seguir os resultados.



Por que os valores não batem com o resultado do ENEM?  Simplesmente porque os logaritmos que foram informados no enunciado são valores aproximados.  O Excel fornece um valor de maior precisão e por isso essa diferença.

Espero ter ajudado, desejo sucesso nos estudos.

>>> Veja aqui uma lista de exercícios resolvidos sobre logaritmos.

>>> Veja também uma lista de exercícios resolvidos de equações exponenciais.