(ESA 2025)  Observe o polinômio abaixo: 𝑝(𝑥) = (𝑥³ + 2𝑥² + 3𝑥 − 3) 𝑛² ∙ (𝑥² + 𝑥 + 1) 𝑛 Qual o valor do número natural 𝑛 para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729? a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7 Solução:  questão de matemática (polinômios) da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024. Para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729, é necessário que p(1) = 729. 𝑝(1) = (1³ + 2 ∙1 ² + 3 ∙1  − 3) 𝑛²  ∙ (1² + 1 + 1) 𝑛  = 729 (1 + 2  + 3  − 3) 𝑛²  ∙ (3) 𝑛  = 729 ( 3 ) 𝑛²  ∙ (3) 𝑛  = 729 3 𝑛²+n     = 729 Precisamos resolver uma equação exponencial, sabemos que 729 = 3 6   , vamos fazer essa substituição, pois assim teremos os dois lados da igualdade com a mesma base. 3 𝑛²+n    = 3 6 Como as bases são iguais, então igualamos os expoente...

(VUNESP 2024)  Três insetos da mesma espécie foram introduzidos em um ambiente no instante zero. Sete meses depois, constatou-se que havia uma população de 18000 desses insetos no ambiente.  Considere que o modelo de crescimento da população desses insetos é exponencial, dado por f(x) = t · u x , em que t e u são constantes reais e f(x) é a população de insetos após x meses do início da cultura. Observe o gráfico da função g(x) = 6000 1/x , em que x é um número inteiro maior do que 2, e que apresenta os valores aproximados das ordenadas de alguns de seus pontos. Com os dados fornecidos, segue que t + u é, aproximadamente, (A) 5,09. (B) 10,26. (C) 6,47. (D) 7,62. (E) 7,26. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNESP 2024, prova aplicada no dia 15/11/2023. Uma questão muito interessante de função exponencial.  De acordo com as informações do enunciado: Quando x = 0, temos f(0) = 3.   f(x) = t · u x   f(0) = t · u 0  = 3 t · 1 =...

(FUVEST 2024)  Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica. Domínio público. Disponível em https://commons.wikimedia.org/. A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1? (A) 26 (B) 27 (C) 28 (D) 29 (E) 30 Note e adote: log 10  2 = 0,3 Solução:  questão de matemát...

(ENEM 2023)  O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da profundidade em um rio, sendo L 0 a intensidade na sua superfície. Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo o mesmo padrão do esquema. A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a a)  1  L 0        9 b)  16  L 0        27 c)  32  L 0       243 d)  64  L 0       729 e)  128  L 0       2187 Solução:  questão de matemática do  ENEM 2023,   prova aplicada no dia 12/11/2023. Podemos notar que estamos diante de uma Progressão Geométrica PG, pois a intensidade luminosa, que vale inicialmente L 0  na superfície do rio, é multiplicada por 2/3 a cada metro acrescido na profundidade. 0 m | L 0   1 m | (2/3) L 0   2 m | (2/3) 2  L 0 ...

(ENEM 2023)  Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.  Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?  A) 2 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18 Solução:  questão de matemática do  ENEM 2023,   prova aplicada no dia 12/11/2023. Podemos notar que a população de larvas cresce em progressão geométrica PG. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3...

(CEDERJ 2023.2)   Considere as sentenças I, II e III, a seguir: I     (x-2)² = x² - 2² II    9 x : 3 = 3 x III  1 - x³ = (1 - x)(1 + x + x²) Quantas são verdadeiras para todo número real "x"? (A) Nenhuma delas (B) Apenas uma delas (C) Duas delas (D) Todas são verdadeiras Solução:  questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2023.2,  prova aplicada no dia 18/06/2023. Nesta questão, vamos utilizar alguns  produtos notáveis .  Analisando cada afirmativa do enunciado: I     (x-2)² = x² - 2²   Para  todo  número real "x", essa afirmativa é falsa , pois sabemos que (x - 2)² = x² - 2.x.2 + 2² = x² - 4x + 4 Ou também que x² - 2² = (x + 2)(x - 2) II    9 x  : 3 = 3 x Para  todo  número real "x", essa afirmativa é  falsa , desenvolvendo a equação exponencial , podemos perceber isso 9 x  : 3 = 3 x 9 x   = 3 . 3 x (3 2 ) x   = 3 1  . 3 x 3 2...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  A taxa de crescimento da população de uma colônia de bactérias é de 2% ao mês.  Assinale a opção que indica o intervalo de tempo em que o número de bactérias dessa colônia dobra.      Dados: log 0,2 = -0,70; log 2 = 0,30; log 1,2 = 0,08; e log 1,02 = 0,008. a) Durante o 35º mês após o início da observação. b) Durante o 36º mês após o início da observação. c) Durante o 37º mês após o início da observação. d) Durante o 38º mês após o início da observação. e) Durante o 39º mês após o início da observação. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Vamos utilizar a fórmula a seguir para calcular o crescimento exponencial dessa colônia de bactérias: VF = VI x ( 1 + i ) n   Sendo (VF, VI, i, n ) respectivamente (Valor Futuro, Valor Inicial, taxa de crescimento, tempo ou número de períodos). Considerando que o valo...

(CEDERJ 2023.1)   Se 2 x = 1/3 , então o valor de x é igual a: a) log 2 3 b) log 3 2 c) - log 3 2 d) - log 2 3 Solução:  questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2023.1,  prova aplicada no dia 27/11/2022. Sabemos que 1/3 = 3 -1 Sendo assim, temos que 2 x  = 1/3 2 x  = 3 -1 Vamos aplicar log 2  nos dois lados da equação exponencial. log 2  2 x  =  log 2   3 -1 x . log 2  2 = -1 . log 2  3 x = - log 2  3 Alternativa correta é a letra d). Aproveite e continue praticando com uma lista de  questões de matemática do CEDERJ. Um forte abraço e bons estudos.

( EsPCEx 2022 )  Ao resolver a equação    encontra-se um valor de x compreendido entre [A] 1 e 2. [B] 2 e 3. [C] 3 e 4. [D] 4 e 5. [E] 5 e 6. Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Vamos resolver passo a passo a equação exponencial Dica:  troque 5 por (10/2). Finalmente, com as bases iguais, vamos igualar os expoentes: x + 1,5 = -1/3 + 2x - 4 x - 2x = -1/3 - 4 - 1,5 -x = -1/3 - 5,5    (vamos multiplicar os dois lados da equação por -1) x = 1/3 + 5,5 x = 0,333... + 5,5 x = 5,833.... Encontramos um valor de x que está compreendido entre 5 e 6.  Alternativa correta é a letra e). Aproveite e continue praticando com uma  lista de questões anteriores da EsPCEx . Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 1/2023) Sejam as funções f: ℝ* + → ℝ e g : ℝ → ℝ* + , definidas por f(x) = log k x e g(x) = a x , com a e k reais positivos e diferentes de 1. Se a função composta fog(10) é igual a 10, então  a) k = 10a b) k = 1/a c) k = 2a d) k = a Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2023. Prova aplicada no dia 05/06/2022. Sabemos que fog(x) = f(g(x)), então fog(10) = 10 f(g(10)) = 10 >> Obtendo g(10) g(x) = a x g(10) = a 10 f(g(10)) = 10 f (a 10 ) = 10 >> Obtendo f (a 10 ) f(x) = log k  x  f(a 10 ) = log k  a 10   f(a 10 ) = 10 . log k  a f (a 10 ) = 10 10 . log k a = 10 log k  a = 10/10 log k  a = 1 a = k Alternativa correta é a letra d). Ou também: f(g(x)) = log k  g(x) f(g(x)) = log k  a x f(g(x)) = x . log k  a Sendo  f(g(10)) = 10 .log k  a = 10 log k  a =10/10 log k  a =1 a = k...

(UERJ 2022)  Um teste de material foi realizado com placas de vidro homogêneo. Considere I 0 a intensidade de luz que incide no vidro e I a quantidade de luz que o atravessa. Observe a equação que relaciona I 0 e I, a partir da constante e, sendo x a espessura do vidro, em milímetros, e k a constante do material com que foi fabricado: Considere a tabela a seguir, que apresenta valores aproximados para e -w : Para k = 0,046 e x = 5 mm, a porcentagem da intensidade da luz incidente que atravessa o vidro é:  (A) 78,7% (B) 79,4% (C) 80,2% (D) 81,1% Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2022,  prova do dia 20/03/2022. Em primeiro lugar, vamos calcular o valor do produto entre k e x. k . x = 0,046 . 5 = 0,23 Precisamos agora do valor de  e - kx = e - 0,23 Repare que a tabela nos informa que o valor de  e - 0,23   é igual a 0,794. Agora, vamos aplicar este valor na equação que relaciona I 0  e I. I / I 0    =...

(VUNESP 2022)  Um vídeo postado na internet no 1º dia do ano obteve, nesse dia (t=1), 800 likes e 100 dislikes . Estima-se que nos próximos dias (t = 2, 3, 4, ...) haverá um aumento diário de 10% nos likes acumulados e um aumento diário de 4,5% nos dislikes acumulados. Tais estimativas são válidas até o momento em que a razão entre dislikes e likes seja aproximadamente 1/40, o que ocorrerá no valor inteiro de t mais próximo de  (A) log 0,95 0,12. (B) log 0,95 0,19. (C) log 0,05 0,19. (D) log 1,05 1,9. (E) log 0,05 0,12. Solução:  questão de matemática do  Vestibular da UNESP 2022 (Cursos da Área de Biológicas),  prova do dia 14/11/2021. Uma questão muito interessante de matemática da disciplina equações exponenciais envolvendo propriedades de potências e propriedades dos logaritmos.  Vamos resolvê-la passo a passo. Perceba que tanto likes quanto dislikes irão crescer exponencialmente nos próximos dias, até que dislikes/likes = 1/40 (aproximadamente)...

(ENEM 2021 Reaplicação)  Um casal decidiu aplicar em um fundo de investimentos que tem uma taxa de rendimento de 0,8% ao mês, num regime de capitalização composta. O valor final F a ser resgatado, depois de n meses, a uma taxa de rendimento mensal x, é dado pela expressão algébrica F = C (1 + x) n , em que C representa o capital inicial aplicado. O casal planeja manter a aplicação pelo tempo necessário para que o capital inicial de R$ 100 000,00 duplique, sem outros depósitos ou retiradas. Fazendo uso da tabela, o casal pode determinar esse número de meses. Para atender ao seu planejamento, o número de meses determinado pelo casal é a) 156. b) 125. c) 100. d) 10. e) 1,5. Solução:  questão de matemática do ENEM 2021 (Reaplicação),   prova do dia 16/01/2022. Uma aplicação muito interessante da matemática financeira.  Repare que a fórmula de F é a tradicional fórmula dos juros compostos . Queremos saber qual é o tempo necessário para C = 100 000 dobrar de valor...

(Banco do Brasil - 2021 - Escriturário / Agente de Tecnologia - Banca: Cesgranrio)  Um fungo está se alastrando na parede, e a área contaminada pelo fungo varia no tempo de acordo com a função A: [0,∞) → R, dada por A(t) = A 0 . b t , em que b ∈ R é uma constante maior que 1; A 0 é a área da parede contaminada no instante inicial; e A(t) é a área contaminada após t dias.  De acordo com esse modelo, depois de quantos dias a área contaminada estará triplicada?  (A) b √3 (B)  3 √b (C) log b 3 (D) log 3  b (E) log b  (1/3) Solução:  questão de matemática do Concurso de 2021 do Banco do Brasil, cargo: Escriturário/Agente de Tecnologia, Banca examinadora: Cesgranrio.  Prova aplicada no dia 26/09/2021. Perceba que A(t) é uma função exponencial e o objetivo da questão é encontrar o tempo t para o qual A(t) = 3 . A 0   (ou seja, o tempo necessário para a área inicial A 0  triplicar).  Sendo assim, vamos igualar: A(t) =...

(Banco do Brasil - 2021 - Escriturário / Agente Comercial - Banca: Cesgranrio) J modelou um problema de matemática por uma função exponencial do tipo a(x) = 1000 e kx , e L, trabalhando no mesmo problema, chegou à modelagem b(x) = 10 2x+3 . Considerando-se que ambos modelaram o problema corretamente, e que ln x = log e x, qual o valor de k? (A) ln 2 (B) ln 3 (C) ln 10 (D) ln 30 (E) ln 100 Solução:  questão de matemática do Concurso de 2021 do Banco do Brasil, cargo: Escriturário/Agente Comercial, Banca examinadora: Cesgranrio.  Prova aplicada no dia 26/09/2021. Como ambos modelaram corretamente o problema, então a(x) = b(x). 1000 e kx  = 10 2x+3 10 3 e kx  = 10 2x+3 e kx  = 10 2x+3  / 10 3   e kx  = 10 2x+3 - 3   e kx  = 10 2x Vamos aplicar log e   nos dois lados da equação. log e  e kx  = log e  10 2x kx . log e  e = x . log e  10 2 k . 1 = log e  100 k = log e  100 que é o mesmo que ln 1...

(ESA 2021)  A soma dos possíveis valores de x na equação 4 x = 6 . 2 x - 8, é: a) 6. b) 7. c) 3. d) 2. e) 0. Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2020 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2021 – 22 . Prova aplicada no dia 04/10/2020. Primeiramente, sabemos que 4 x  = (2 2 ) x  = (2 x ) 2  , vamos utilizar este valor na equação exponencial. 4 x  = 6 . 2 x  - 8 (2 x ) 2  = 6 . 2 x  - 8 (2 x ) 2  - 6 . 2 x  + 8 = 0 Agora, vamos utilizar um artifício muito comum na solução de equações exponenciais, vamos substituir y = 2 x . y 2  - 6 . y + 8 = 0    Transformamos a equação exponencial em uma equação do segundo grau.  Vamos resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara. Δ = (-6)² - 4 (1) (8)  Δ = 36 - 32 Δ = 4 √Δ = 2 y = (6 ± 2) / 2 y1 = 8/2 = 4 y2 = 4/2 = 2 Com estes valores para y, vamos encontrar x. y1 = 2 x     4 = 2 x...

(CEDERJ 2022.1)  Sejam a b e números reais não nulos. Se a função f(t) = a 2 -bt é tal que f(3) = 3a, então o valor de b é  (A) positivo e menor que 1. (B) positivo e maior que 1. (C) negativo e menor que -1. (D) negativo e maior que -1. Solução:  questão de matemática do Vestibular  CEDERJ 2022.1,   prova aplicada no dia 12/12/2021. Uma questão bem interessante sobre equações exponenciais, vamos desenvolvê-la passo a passo: f(t) = a 2 -bt   f(3) = 3a = a 2 -b.3   2 -3b  = 3 Aqui, chegamos a um ponto interessante da questão, precisamos descobrir quanto vale b nessa equação exponencial, nós sabemos que: 2 1  = 2 2 -3b  = 3 2 2  = 4 Vamos encontrar um valor aproximado para b, e isso já será suficiente para respondermos à questão.  Podemos identificar nas potências de 2 listadas acima que (-3b) está entre 1 e 2 .  Logo, podemos usar inequações para encontrar um intervalo para b. 1 < -3b < 2 -3b > 1...

(EEAR CFS 2/2022) Considerando log 2 = 0,3 é correto afirmar que 2 22 está entre as potências de dez  a) 10 7 e 10 8 b) 10 6 e 10 7 c) 10 5 e 10 6 d) 10 4 e 10 5 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2022. Prova aplicada no dia 14/11/2021. Para resolvermos essa questão sobre potências, vamos usar logaritmos. O que a questão quer saber é o seguinte: 2 22  = 10 x Podemos encontrar o valor de x aplicando log nos dois lados da equação. log 2 22  =  log 10 x 22 . log 2 = x . log 10 22 . 0,3 = x  x = 6,6 Sendo assim, considerando que log 2 = 0,3 ; então 2 22   = 10 6,6  .  Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.  Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 2/2021)  Seja X o valor de uma moto no ato da compra. A cada ano o valor dessa moto diminui 20% em relação ao seu valor do ano anterior. Dessa forma, o valor da moto no final do quinto ano, em relação ao seu valor de compra, será:  a) (0,8) 4 . X b) (0,8) 5 . X c) (2,4) . X 3 d) (3,2) . X 4 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Vamos resolver esse problema usando a fórmula do crescimento exponencial: a mesma fórmula que é utilizada no cálculo de juros compostos . VF = VI . (1 + i) n VF = Valor Final VI = Valor inicial = X i = taxa = -20% = -0,20 n = número de períodos = 4 Atente para o fato de que ao final do quinto ano, a moto só terá desvalorizado 4 vezes, a quinta desvalorização virá no início do 6° ano. Exemplo:  comprou em 01/01/2021  (1° ano é 2021) 1ª desvalorização = 01/01/2022  (2° ano é 2022) 2ª desvalorização = 01/...

Caro estudante, Elaboramos uma lista com questões de equações exponenciais e equações logarítmicas. As questões são provenientes de vestibulares para você que está se preparando para exames deste ano. Recomendamos que você reserve um tempo, resolva todos as questões e depois confira o gabarito com a resolução passo a passo. Desejamos sucesso na sua preparação na disciplina da matemática para vestibulares e concursos. >> Equação Exponencial Exercício 1 -  (EsPCEx 2020)  No ano de 2010, uma cidade tinha 100.000 habitantes. Nessa cidade, a população cresce a uma taxa de 20% ao ano. De posse dessas informações, a população dessa cidade em 2014 será de  [A] 207.360 habitantes. [B] 100.160 habitantes. [C] 180.000 habitantes. [D] 172.800 habitantes. [E] 156.630 habitantes. >> Link para a solução da questão Exercício 2 - (UERJ 2020) Em uma fábrica, uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo, com 25 cm de comprimento, 10 cm de largura e 8 cm de altura, ...